LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
avec elle un angle infiniment petit du second ordre. € est, d'après cela, le complément de Pangle sous lequel la droite PI coupe la courbe BB'; or on sait (85; que si en chaque point d'une courbe on élève une normale, et que l'on porte sur elle une longueur constante /, le lieu des extrémités est une courbe parallèle à la proposée, et coupant toutes les normales à angle droit. On en conclut bien aisément que si la longueur / portée sur chaque normale varie d'un point à l'autre, un élément de de la courbe obtenue, et dont les extrémités correspondent aux longueurs/et l-hdl portées sur deux normales voisines, formera avec ces normales
un angle dont le cosinus est -r- : dans le cas de deux courbes infiniment voisines
qui nous occupe ici, l'élément d<j peut être remplacé par l'élément correspondant ds% de la courbe AA' qui en diffère d'un infiniment petit du second ordre, et par conséquent l'angle infiniment petit e, que l'on peut remplacer par le cosinus
de son complément, a pour expression -j-\ l est ici la distance PI, égale, nous Pa-
da
vons dit, à -jp, et dl est l'accroissement correspondant à un changement infiniment petit de a2 ; on a donc
Le dénominateur ds{ du quotient -r- est correspondant k la distance des deux courbes normales à AA' et correspondant aux paramètres aa et aa -h da2; on a donc (125)
et par conséquent
on en conclut
dott
k — zn — /»i « «i — -j — ?
— = !*!= h h \llï*= h*dh%t.
Pi dai ' a da7 h{d<Xï'
on trouverait de même
— = htà, -j- = — t- -r- • Pi aa, fit aaL\
509. Ces formules assignent au rayon de courbure un signe qui, comme nous
allons le voir, est lié au sens de la courbure. Considérons par exemple la formule
h{ eth2t définis par leurs carrés (507), sont regardés comme essentiellement positifs,
le signe de - est par conséquent celui de •—• ; ï- étant proportionnel k la distance
des courbes correspondantes aux valeurs a, et a, -hrfa,, on voit que p9 est positif lorsqu'ea parcourant l'une d'elles dans un sens tel que a% augmente, on s'éloigne de la courbe infiniment voisine. Or deux courbes normales à une même courbe s'écartent l'une de l'autre lorsque leurs premiers éléments sont situés dans la région vers laquelle celle-ci tourne sa convexité. Nous pouvons donc énoncer la règle suivante:
En considérant la courbe qui correspond à une valeur donnée de aa comme séparant les points du plan pour lesquels aa est moindre de ceux pour lesquels il est plus grand que cette valeur donnée, le rayon de courbure p2 fourni par la formule trouvée est positif lorsque la courbure de la ligne est tournée vers la première de ces régions, elle est négative dans le cas contraire.
