LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

en remplaçant - et - par leurs valeurs >

elle devient

- =hlhi -j — i

- = ht n2 -7-— *

ou, en effectuant les différentiations,

*/ rfï UK / rfi/A «M. / dh\^l2l d2 A, , rfU) /. rf*. . A <'A.\

on a identiquement,

dx, dtxi \fla,/

et l'équation se réduit, en supprimant le facteur A, h2, à

[l) hlÏHï+/''-dlï + d*-,dT, + ï7,d«-r0>

ou enfin,

rf'r rf' r rfrrff rfrrfr

da) dat\ dzx doix d<zt da:

514. Les fonctions r et 4- faisant connaître (507) la loi de variation delà distance entre deux courbes voisines appartenant à un même système, on comprend que l'équation (8), qui a lieu entre ces fonctions et leurs dérivées, exprime implicitement la loi suivant laquelle peuvent varier les côtés des rectangles infiniment petits dans lesquels un plan peut être décomposé par deux systèmes de lignes orthogonales. Pour obtenir cette loi explicitement, il suffira tie remplacer dans la formule

7-et r par leur expression en fonction des côtés infiniment petits de ces rectangles. Représentons-nous sur le plan la série des lignes de l'un et l'autre système correspondant aux valeurs a,, a2 des paramètres, et à celles que l'on obtient en leur attribuant une série d'accroissements infiniment petits, égaux à da{ pour le premier, et à da2 pour le second.

Nommons x ety les côtés PQ, PP, du premier rectangle, et convenons de représenter par le signe d la variation qui correspond à l'accroissement rfa, de a,, c'est-à-

dire à un déplacement effectué sur les lignes PP,, QQ,,..., et par le signe è celle qui, correspondant à l'accroissement da2 de aa, exprime un déplacement effectué sur les lignes de l'autre système. On a (507)

ar=PQ= -r- , A»

d OLx

dx = -5 — ( -p^ ! rfa, = rfa, rfa, -r— ^ a a. \ /*» / doL%

a'=^(x)rfa,=rfa,rf8*3l

d dh

aa, ' a a;