LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

En substituant dans l'équation (8) à hî9 h.t et à leurs dérivées les valeurs déduites de ces formules, elle devient, après la suppression du dénominateur commun d<xi dz2,

c'est-à-dire

d*x t S*y dy dx dràx

x*yd7 x-\-y7xo2y — x-dydx — j3oy$x = o.

Les variables a,, a2, dont les accroissements constants ont déterminé la loi d'espacement des courbes qui forment les rectangles, sont arbitraires. Cette loi est donc elle-même arbitraire : quels que soient en effet les accroissements successifs attribués à une variable, on peut trouver une nouvelle variable, fonction de la première, et dont les accroissements correspondants soient égaux entre eux. L'équation (9) exprime donc la loi générale qui régit les côtés des rectangles curvilignes infiniment petits que Ton peut juxtaposer sur un plan. Si l'on suppose quatre rec-

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tangles contigus représentés sur la figure et formés par des lignes espacées de telle sorte que l'on ait PQ = QR , PP,=P,P2, &x sera nul ainsi que dy, et l'équation '9) deviendra

(10) xd'x -+- yè'y=o.

Si l'on suppose cette équation exacte sous la condition d'égalité entre les cotés contigus des quatre rectangles auxquels elle se rapporte, elle entraine l'équation plus générale dont on l'a déduite, et lui est par conséquent équivalente. Pour le démontrer, admettons en effet que cette équation (10) soit satisfaite pour quatre rectangles infiniment voisins, tels que ceux qui sont représentés dans la figure et sous la condition QR = PQ = xf P2P4 =PlP = j. Admettons que les courbes étant espacées autrement, on ait QR = x -t- dx, P3P, =y -+- dy, d2 x et iï2y changeront de valeur, et il est facile de calculer la variation de chacun d'eux. Si en effet P2Q2 est remplacé par une ligne du même système, coupant PP, à une distance dy du pointP2, l'augmentation qui en résulte pour P2Qa est précisément la varialion que subit d2x; or la ligne PQ s'accroissant de dx, lorsque P se transporte en P, en parcourant une ligne égale à y, pour un déplacement égal à dy elle s'accroîtra de

— f-; par conséquent la nouvelle valeur ded2x est égale à l'ancienne qui figure dans l'équation (10), augmentée de -— - > et l'on doit, pour transformer cette équation, remplacer d2 x par d2 x ^-^ • On verra de même que d2y doit être rem-

placé par d*y — oxoï , et l'équation ( 10) devient

, , », xdxdy yoxoy (ii) xa2x-\-yo*y : • — =o,

équivalente à l'équation (9).

La remarque que nous venons de faire pourrait être présentée sous une forme analytique et rattachée à la théorie du changement de la variable indépendante.

515. L'équation (9) peut être aisément vérifiée dans le cas où les lignes de l'un des systèmes sont droites; les lignes de l'autre système sont alors des courbes parallèles, et deux quelconques d'entre elles interceptent sur les droites qui leur sont normales des longueurs égales.

Considérons dans ce cas les trois rectangles contigus dont les côtés figurent dans la formule: nous aurons

VQ = x, QR = .r-hojr,

PP, = r, <3.r = o, o\r = o, P,P2 =>+-</»,

P,Q, = x 4- dxy PZQ, = x 4- idx 4- d2 x,

et l'équation devient c'est-à-dire

. dxdr xa7x — x - = o,

d7 x dy

dx ~~ y '