LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

ce qui est évidemment exact, car la longueur x étant proportionnelle àr (a distance au point 0, où se coupent les deux droites entre lesquelles elle est comprise, ses accroissements sont proportionnels aux variations de cette distance. Si donc à un déplacement y du point P correspond la variation dx, a un second déplacement égal

k y-hdy correspondra la variation dx-\ — ±—^-y et Ton a

On peut donner au même raisonnement une forme plus analytique en faisant usage de l'équation (8), équivalente au fond à celle que nous venons d'employer. Dans le cas qui nous occupe, la distance de deux courbes du premier système étant constante, y est indépendant de a2, et l'équation (8) se réduit à

t lu A1 hx hi

que l'on peut écrire

"- (i) iii)

(Iol\ dxx

dx,

Elle exprime que / -r-î el /t- ont même dérivée par rapport à «,, et que par conséquent le rapport

est indépendant de a, et reste constant pour une valeur donnée de a,. Pour traduire ce résultat géométriquement, considérons les deux droites voisines qui cor-

d x respondent aux paramètres a2, a2 -h du2 ; -r-' est la longueur portée sur l'une

d'elles, mesurant la distance des deux courbes qui la coupent à angle droit. La distance des deux droites au point considéré est -p1 > et par conséquent proportionnelle a j--, dire que le rapport (A) est constant, c'est dire, ce qui évidemment est

exact, que l'accroissement de distance des droites est proportionnel au déplacement subi, dans le sens de leur longueur, par le point où Ton mesure cette distance.

Expression approchée de quelques grandeurs infiniment petites .

516. L'étude d'un arc infiniment petit pris sur une courbe serait aussi difficile que celle d'un arc fini, et la variété des résultats, dissemblables avec les définitions particulières des courbes considérées, ne laisserait pas même entrevoir la possibilité d'une théorie générale, si dans le calcul des grandeurs à déterminer on s'imposait l'obligation de ne rien négliger. On sait au contraire que dans le calcul d'une grandeur infiniment petite on peut, sans inconvénient, négliger une portion infiniment petite de sa valeur; lorsque par conséquent nous cherchons l'expression d'un infiniment petit du premier ordre, nous négligerons ceux du second; dans le calcul d'un infiniment petit du second ordre, on négligera ceux du troisième, et ainsi de suite. On peut d'ailleurs, dans le calcul d'une même grandeur, recourir successivement à ces divers degrés d'approximation. Après avoir calculé en effet la valeur approchée qui peut remplacer une grandeur infiniment petite d'un certain ordre, et que l'on nomme sa partie principale, on peut se proposer d'évaluer l'erreur commise dans le premier résultat; elle est en général du second ordre, et dans son expression on négligera les infiniment petits du troisième ordre; mais, après l'avoir trouvée, on peut chercher une expression de l'erreur qui subsiste encore, et continuer indéfiniment en formant les termes successifs d'un développement indéfini qui seul représenterait exactement la quantité inconnue. C'est précisément là, nous l'avons vu (277), ce que Ton fait en développant une fonction par le théorème de Taylor.

517. Différence entre un arc infiniment petit et sa corde — La différence entre un arc et sa corde est infiniment petite du troisième ordre; nous allons en chercher l'expression en négligeant les infiniment petits du quatrième ordre, ou, ce qui évidemment revient au même, former le premier terme de son développement en série ordonnée suivant les puissances de l'arc.

Prenons pour axes de coordonnées la tangente et la normale à l'une des extrémités de l'arc considéré. En considérant la longueur s de l'arc comme variable indépendante, dont les coordonnées x et y sont deux fonctions, on a, pour s = o,

(dr\ (dx\

x = oy — =o, — )=i; \fis ; „ \ (is /„

de plus, pour un point quelconque,