LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

od en déduit» en différentiant,

dxd2x dyd7y

ld*x\ (d7x\7 dxd'x dyd*y

\dFJ ~h\~d?) *~dï~dF~{"dï-dF-0'

et si, dans ces équations qui ont Heu pour toute valeur de 5, on fait 5=0, elles donnent, en ayant égard aux équations précédentes,

\ds>).- \ds>);

Rappelons enfin la formule

qui, pour 5 = 0, devient, en vertu des précédentes,

pï -VA-;.- \d*).'

et ces équations permettent de résoudre facilement la question proposée et plusieurs autres analogues.

Le théorème de Maclaurin donne

53 fd3x\ 58

r-\'dF)9T~ï-h6\dF)9-{- ÏJÊ + B \1?). + '- ;

on en conclut

J $Pl 4pJ lapj

les termes que Ton n'écrit pas contenant en facteur la cinquième puissance de 5. En nommant c la corde de Tare s, cette équation peut s'écrire

et par conséquent

La somme s -h c peut évidemment être remplacée par as, et l'on a enfin, pour expression de la partie principale de s — c,

On voit, comme cela est évident à priori, que pour une même longueur de Tare, la différence avec la corde augmente avec la courbure.

518. Différence entre l'angle d'une corde avec la tangente et la moitié de l'angle de contingence. — En adoptant les notations du paragraphe précédent, l'angle formé

parla corde d'un arc avec Taxe desa?, qui le touche à son extrémité, a pour tangente--

L'angle de contingence formé avec le même axe des x, par la tangente à l'autre

extrémité de l'arc, a pour tangente -f- > la différence de deux angles infiniment

petits pouvant être remplacée par celle de leurs tangentes, la différence que nous voulons évaluer est

dr y dx x

on a

on en conclut

dy

p, 2 \ as' /„

dx

s s7 j d\y\ 2p0 6 \dss ) 9

Il suffit à notre but de conserver dans les développements les termes qui contiennent s2 en facteur; à ce degré d'approximation, les dénominateurs peuvent être remplacés par Punité, et l'on a

dy

dx o„

.fr

et par conséquent

De l'équation on déduit