LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

rfv 2/r s2 /rf3^\

dx x 6 \d& /„

id*x\* fd'y-y i

[dp) "*" \~dfc) —

d2x dlx d*ydly i dp

~dF "d? "*" ~ds>~ d? ~~~ — p3 rfs '

et en faisant s= o, et ayant égard aux équations écrites plus haut,

i±l\ __± ^\ on a donc

cfcr \jr/ 6pl \ds/i

Telle est la partie principale de la différence entre la tangente de l'angle de contingence et le double de la tangente de l'angle formé par la corde avec la tangente. On peut évidemment remplacer les tangentes par les angles, et le problème est par conséquent résolu. Lorsque la courbe est un cercle, le rayon de courbure étant constant, -£ est nul et la différence se réduit à zéro, comme cela doit être.

L' angle de contingence étant rigoureusement égal à la somme des angles formés par la corde avec les tangentes extrêmes, son excès sur le double de l'un d'eux est égal à la différence de ces deux-ci, et par conséquent

6p*\ds)

représente la différence des angles formés par la corde de l'arc $ avec les tangentes

à ses extrémités. Lorsque -È est positif, l'angle de contingence est moindre que le

double de celui des deux angles qui a son sommet à l'extrémité prise pour origine de l'arc, et qui est par conséquent le plus grand des deux.

Différence des tangentes menées aux extrémités d'un arc et terminées

à leur point de rencontre.

519. Soient AT et BT les tangentes aux extrémités d'un arc infiniment petit AB, que

nous nommerons s. Nous voulons évaluer la différence AT — BT, qui évidemment est

infiniment petite de second ordre. Le triangle ABT donne

AT sin B BT~"sinA'

4T DT . D . 4 2sin ~(B— A)cos-(A-hB) Al — BT __ sin B — sin A a v ' i v

BT ~~ sin A "" sin A

On peut évidemment, dans le premier membre de cette équation, remplacer le dénominateur BT par - s, et dans le second, le facteur cos - (A-4-B), par l'unité, et ledé-

nominateur sin A, par A, puis par la moitié de l'angle de contingence -> et enfin

. (B— A) i /D Ax . .

sin v ' j par - (B — A) ; on a ainsi

a(AT — BT) (B — A)p s "~~ s

AT— BT=£(B — A)=— — ^2.

a ' 12 p as

520. Différence entre les deux segments formés par une normale sur la corde infiniment petite qui lui est perpendiculaire.

Soient AB un arc infiniment petit, et OX celle de ses tangentes qui est parallèle à la corde AB.

Prenons cette droite OX pour axe des X, et la perpendiculaire OY pour axe des Y; l'arc s étant compté à partir de l'origine 0, les coordonnées x> y de son extrémité sont données, comme dans les paragraphes précédents, par les formules

Soient st ets2 les longueurs des arcs OA et OB, la formule (a) doit donner la même