LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

valeur pour y quand on y fait s = s< , s = — s2 ; on a donc

ap0 6\ds*J, 2p0 6\rf^/0'

ou, en transposant et divisant ensuite les deux membres par ($, -h$2),

(*,—*.) (*î— <»*i-w>) /rf*r\ .

La différence 5, — sa étant, d'après cette formule même, infiniment petite par rapport à chacun des deux arcs, on peut remplacer dans le second membre (s* — st s.2 -+- s?2 j par s\ , et l'on a par conséquent

(*-*) = 5»ÏP*(Sf); Mais on a trouvé (518) (-357) = ~ ""» (75) ; Par conséquent enfin

Si l'axe des Y perce la corde AB au point I, on a, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,

st =■ BI , 3^ = AI ; et par conséquent

Telle est l'expression de la différence AI — BI, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre.

521 . Distance d'une courbe à son cercle de courbure. — En rapportant une courbe à la tangente et à la normale en un de ses points, que l'on prend en même temps pour origine des arcs, nous avons trouvé pour les coordonnées d'un point, les séries

-£j- étant égal (518) à — ~ f -£\ > il est nul si la courbe considérée est un cercle,

et par conséquent, en rapportant à leur tangente commune une courbe quelconque et stm cercle de courbure, on aura, pour la courbe,

7 2p. 6pJ W*/. '*'

et pour le cercle

les termes non écrits étant de part et d'autre d'un ordre supérieur au troisième. Il résulte de là que la différence des ordonnées correspondantes à une même valeur

de s est du troisième ordre et égale à — ^-7 f -^ ] ; la formule

montre d'ailleurs que la différence des abscisses est tout au plus du quatrième ordre, et que, par conséquent, si Ton néglige les infiniment petits du quatrième ordre, il est permis de considérer les deux ordonnées comme répondante une même abscisse. La formule

s3 idp\ __5»

6p\ \ds).~~~ 6

exprime donc la distance de l'extrémité de l'arc s au cercle de courbure correspondant à l'autre extrémité, cette distance étant comptée perpendiculairement à la tangente commune de la courbe et du cercle, et pouvant évidemment être remplacée par la distance comptée normalement au cercle qui n'en diffère que d'une portion infiniment petite de chacune d'elles.

Théorie des développées.

522. Lorsqu'une courbe a pour tangentes les normales d'une autre courbe, on dit qu'elle en est la développée. D'après cette définition, une courbe donnée a toujours une développée et ne peut en avoir qu'une seule, qui est (104) le lieu des intersections de chaque normale avec la normale infiniment voisine, et par conséquent le lieu des centres de courbure de la courbe donnée, laquelle, considérée par rapport à sa développée, porte le nom de développante. La développée d'une courbe fait connaître tous les rayons de courbure de celle-ci, car chacun d'eux est égal évidemment à la portion de normale comprise entre la courbe et le point où elle touche la développée. On voit ainsi comment la théorie des développées, créée par Huyghens indépendamment de la considération des rayons de courbure, est intimement liée cependant au sujet de ce chapitre, et doit naturellement y trouver place.

L'équation d'une courbe étant donnée, la théorie des enveloppes permet d'obtenir celle de la développée : / et u désignant en effet les coordonnées d'un point de