LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
la normale au point de la courbe dont les coordonnées sont x et y, on a
(i) (x — t)-h(y—u)jE = o;
y et -£ sont, dans cette équation, des fonctions données de x; pour avoir l'enveloppe des droites qu'elle représente, il faut éliminer cette variable entre l'équation ( i ) et sa dérivée par rapport \ x,
y étant considéré dans les équations (i) et (2) comme une fonction de a; définie par l'équation de la courbe, l'opération algébrique qui donnera l'équation de la développée consiste évidemment à éliminer x et y entre les équations (1) et (2), et
celle de la courbe donnée, après avoir, bien entendu, remplacé -f- et -r-^ parleurs
valeurs en x et y.
523. Le nom de développées donné aux courbes qui nous occupent rappelle une propriété importante déjà démontrée (22) et que nous allons démontrer de nouveau en la déduisant des formules précédentes.
L'arc de développée est la différence des rayons de courbure aux points extrêmes de rare correspondant de la développante.
Soit, en effet,
(1) (jr a). + (r-(3)»==R»
l'équation du cercle de courbure en un point d'une courbe : différentions cette équation en considérant a, |3, R comme variables, et xet y comme les coordonnées, variables aussi, du point de contact de la courbe avec le cercle. On aura
(2) (x — *)(dx — dx)-h(y—£)(dy — dp) = lidR.
Différentions actuellement l'équation (1) en y considérant a, /3, R comme constants, dx et dy se rapportant au déplacement infiniment petit effectué sur le cercle considéré comme fixe; on aura
(3) (x-*)dx + (y—£)dr = o.
La comparaison des équations (2) et (3) va nousfournir ladémonstrationdu théorème énoncé; mais il est utile de nous arrêter sur la signification de chacune d'elles, en indiquant avec plus de précision le sens que l'on doit attacher aux différentielles qui y figurent. L'équation (1) a lieu pour un point quelconque de l'un quelconque des cercles osculateurs. x et y y sont variables, et a, /3, R constants, quand
on reste sur le même cercle; c'est ce que nous avons supposé en obtenant l'équation (3). x, y> a, /3, R sont au contraire tous variables quand on passe d'un cercle au cercle voisin; mais, dans ce second cas, il y a deux variables indépendantes, et les rapports des différentielles ne sont déterminés que si l'on impose à x et à y une condition nouvelle, comme celle de représenter constamment le point de contact du cercle et de la courbe. C'est dans cette seconde hypothèse qu'on a effectué la différentiation qui a fourni l'équation (a). D'après ces explications, dx et dy sont les différentielles des coordonnées du point de contact de la courbe et du cercle osculateur, considéré, dans l'équation (2), comme se déplaçant sur la courbe, et, dans l'équation (3), comme se déplaçant sur le cercle; elles représentent dans les deux cas (47) le déplacement effectué sur la tangente commune, et sont par conséquent égales, La comparaison des équations (2 ) et ( 3 ) donne
(4) — (* — *)</«-(/ — J3)rfp=R«/R,
ou
(5) ^rfrf4.r=irfP=rfR.
R, étant la distance des deux points dont les coordonnées sont respectivement x, y,
a, |3, les rapports x I~*> ^-r rePrésentent les cosinus des angles formés avec les
axes par la ligne qui joint ces deux points, qui est la normale à la courbe proposée, et par conséquent la tangente à la développée. En nommant <x l'arc de cette dernière
courbe, ces cosinus sont égaux à -p» -J-» et l'équation (5) devient
rfa.^+^£Ê=rfR,
(ter rda c'est-à-dire, à cause de da* •+■ d/S3 = rf<72,
dv = — rfR,
ou enfin
et Ton en conclut
tf(R-hff) = o,
R-f-<x = constante.
Le rayon de courbure ajouté à l'arc o-, dont l'origine reste indéterminée, forme donc une somme constante, et par conséquent l'arc compris entre deux points de la développée est égal à la différence des rayons de courbure qui correspondent à ces deux points.
524. Une courbe plane quelconque peut être engendrée par l'extrémité d'un fil
