LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 56i

enroulé sur sa développée, et qui se déroule en conservant l'autre extrémité fixe. Soit en effet la courbe PP'P'P"', et sa développée A A' A" Aw. Supposons un fil dont une

extrémité soit fixée en Am, et qui, enroulé d'abord sur l'arc A" A" A' A, se dirige, à partir de A, suivant la tangente à la développée pour se terminer en P sur la développante. Si ce fil se développe sans changer de longueur, de telle sorte que, quand la partie enroulée diminue, la partie rectiligne augmente d'autant, leur somme restant constante, la partie courbe étant égale à l'arc que nous appelions o-, la partie rectiligne sera constamment égale au rayon de courbure R, et par conséquent l'extrémité du fil parcourra la courbe PP'P", dont A A' A" est la développée.

525. Cette manière de tracer la développante au moyen de la développée, montre clairement pourquoi le cercle osculateur traverse en général la courbe au point où il la touche.

Reprenons en effet la figure précédente et considérons trois positions voisines du fil, dont l'extrémité décrit la courbe PP'P"; on a, d'après la définition même du mouvement du fil,

AA'-hAP = A'P',

A' P/ est par conséquent plus long que la distance rectiligne du point A' au point P, en sorte que ce point est en dedans du cercle décrit de A' comme centre, avec A' F pour rayon. On a aussi

A"A'-hA'P' = A"P".

Mais A"F est plus petit que AT" augmenté de A' A7; donc A'F est plus grand

que A'P', et le point P" est en dehors du cercle décrit de A' comme centre avec

ïm PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

A'P' comme rayon. Or ce cercle est précisément le cercle oscillateur de la courbe PPT" au point P'; puisqu'il a le point P dans son intérieur, et le point P* hors de la circonférence, il traverse évidemment cette courbe, ainsi que nous l'avions déjà reconnu (496).

526. On conclut du théorème précédent que toute courbe dont la courbure est constante est un cercle. L'arc de développée étant égal en effet à la différence des rayons de courbure qui correspondent à ses points extrêmes, il est constamment égal à zéro, lorsque le rayon de courbure est constant; la développée se réduit donc à un point, et il en résulte évidemment que la courbe est un cercle.

Quelques exemples de développées .