Développée de la courbe représentée par l'équation
(i) x* -hr3 =a* .
On déduit de cette équation :
dx
dx2 -4
Les coordonnées a, |3 du centre de courbure sont, par conséquent,
1 Al
-=x-\-Zx*r' ,
et de même,
On en conclut aisément
(7) (8) par conséquent,
a -h (3= (xl +y*) , a — {3= (**r*)\
. 2.r*=(a-hP)^-(«— P)*.
L'élimination de # et de/ entre ces équations et la proposée donne immédiatement
[(« + £)' + (« pj»]V [(« + jî)» — («— p)*]2=4^
c'est-à-dire
(«H-P)"'-H(a P)'î = 2aV
Si Ton change les axes des coordonnées en les faisant tourner de 7 autour de l'origine actuelle, celte équation se change en
a', /5' désignant les coordonnées par rapport aux nouveaux axes; la forme de ce résultat montre évidemment que 'la courbe proposée est semblable à sa développée et de dimensions doubles.
On peut reconnaître aisément que la courbe dont nous venons d'obtenir la développée est une épicycloïde engendrée par un cercle roulant dans l'intérieur d'un autre cercle de rayon quadruple, et nous verrons que la propriété d'être çemblable à sa développée convient à toutes les épicycloïdes.
529. Développée de la cycloïde. — La connaissance du rayon de courbure de la cycloïde en chacun de ses points permet de déterminer aisément sa développée.
Soient AMA' une cycloïde, M un de ses points, et MI la position correspondante du cercle générateur. Le rayon de courbure étant (504) double de MI, si, au-dessous
de A A', on décrit un cercle égal au cercle générateur, et touchant AA' en I, Tintersection M' de ce cercle avec MI prolongé est le centre de courbure, et le lieu des points M' est la développée. Soit S' le centre correspondait au sommet S, et situé évidemment sur la droite BB' parallèle à A A', et tangente au cercle 1 1'. Il est aisé de voir que ce cercle roulant sur BB' engendrerait précisément la développée S'M'A, si le point décrivant était d'abord placé en S'. En effet, en nommant B la projection du point A sur BB', on a
BS'=AC = I'M'l,
BI' = AI = arc IM = arc 1M',
par conséquent
rs=rMi — im ' = im',
ce qui montre que le point décrivant, d'abord placé en S', viendra par suite du roulement se placer en M', lorsque le cercle roulant aura son point de contact en Y.
