LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

La détermination analytique de la développée, en partant de l'équation de la

cycloïde, est facile, et nous ne nous y arrêterons pas; nous nous bornerons à indiquer

un moyen élégant d'y parvenir a l'aide d'un système de coordonnées utilement

adopté pour la solution de quelques problèmes.

530. Une courbe, dans ce système, est caractérisée par la relation qui lie le ravon de courbure à l'angle formé par la normale avec une direction fixe. Le passage de telles équations à celles auxquelles nous sommes plus habitués, exigerait la solution d'un problème de calcul intégral, que nous ne pouvons aborder ici. Bornons-nous à montrer immédiatement qu'une courbe est déterminée quand on connaît, pour chaque direction de la normale, le rayon de courbure correspondant. Si l'on porte en effet son attention sur l'arc compris entre deux normales de directions données, on connaîtra, pour chaque direction intermédiaire, la longueur de Tare correspondant de la développée, et, pour déterminer celui-ci, il faudra résoudre le problème suivant : courber un fil de longueur connue, de telle façon que la direction de chaque élément soit assignée à l'avance. La solution est évidemment unique quand on se donne l'origine, et les courbes relatives a des origines différentes sont superposables. La développée étant déterminée, la courbe primitive l'est également, car le rayon de courbure en chaque point étant connu, on saura la longueur qu'il faut porter sur chaque tangente à la développée, pour avoir le point correspondant delà développante.

En nommant <p l'angle formé par la normale à la cycloïde avec la base, et a le rayon du cercle générateur, l'expression du rayon de courbure est

p = 4acos<p,

l'angle de contingence de la développée estd<p, l'arc infiniment petit correspondant est dp; le rayon de courbure p' de celle-ci est donc

dp , ^=4*sin9.

D'ailleurs, eri" nommant <p' l'angle formé par la normale à la développée avec le même axe ,

et par conséquent

p'-=4^cos9'.

La développée a- donc la même équation que la cycloïde et lui est par conséquent

531. Appliquons la même méthode à l'épicycloïde. D'après l'équation trouvée (506)

pour le rayon de courbure de l'épicycloïde, on voit aisément qu'en nommant 9 l'angle formé par la normale avec le rayon du cercle fixe dirigé vers l'origine de l'épicycloïde, on a

p = a sin my;

a et m étant des constantes, on en conclut que le rayon p' de la développée, toujours égal à ^ 1 est

p' = ma cos m 9 ,

et si l'on nomme o' l'angle formé avec le même axe par la normale à la développée,

p' = ma cos m ( - — 9' ) * ou en posant

ce qui revient à faire tourner Taxe, de l'angle

p' = ma sin m 9,.

Pour déduire cette équation de la proposée, il suffit de multiplier par un facteur constant l'expression du rayon de courbure, et il est aisé de voir que c'est précisément ce qu'il faudrait faire pour obtenir l'équation d'une courbe semblable. La développée de l'épicycloïde est donc une épicycloïde semblable, le rapport de similitude est m, et l'angle formé par les lignes homologues dans les deux

figures,

532. Développée de la spirale logarithmique. — L'équation de la spirale logarithmique en coordonnées polaires est

r = aem°.

Le rayon de courbure a (504) pour expression

p = aem0 \l\ -hmJ;

il en résulte, comme on le voit aisément, que le centre de courbure se trouve sur la perpendiculaire élevée par le pôle au rayon vecteur. Si doncr' et ô' sont les coordonnées du centre de courbure, on a

r' = y/p' — /*' = maem6;