COURBURE DES LIGNES TRACÉES SUR UNE SPHÈRE

Définition de la courbure géodes ique.

542. L'analogie des figures planes avec celles que Ton peut tracer sur une sphère a été remarquée dès les éléments; Euler lui a donné une heureuse extension en appliquant l'idée de courbure à l'étude des lignes tracées sur une même sphère. Nous ferons connaître dans ce chapitre les traits principaux de cette théorie, qui n'est elle-même qu'un cas particulier d'une théorie plus générale, relative aux courbes situées sur une surface quelconque. Dans l'étude des lignes tracées sur une sphère, le grand cercle doit évidemment jouer le rôle qui, sur le plan, appartient à la ligne droite. C'est lui qui, sur la sphère, est considéré comme ayant une courbure nulle: de même que la courbure d'une ligne plane fait connaître la rapidité plus ou moins grande avec laquelle elle s'écarte de la tangente, la courbure d'une courbe tracée sur la sphère peut être considérée, ainsi que nous l'expliquerons, comme une mesure de la rapidité plus ou moins grande avec laquelle elle s'écarle de Tare du grand cercle qui lui est tangent. Pour distinguer de la courbure absolue cette courbure, relative seulement à la comparaison des lignes tracées sur une même sphère, nous adopterons l'expression de courbure géodésique créée par M. Liouville dans un sens plus général, qui sera expliqué dans un autre chapitre. Nous nous bornons, dans celui-ci, k l'étude des lignes tracées sur la sphère;

La courbure géodésique totale d'un arc infiniment petit de courbe sphérique, est l'angle formé par les arcs de grand cercle qui le touchent a ses extrémités. La courbure géodésique moyenne est le rapport de la courbure totale à la longueur de Tare, et la courbure d'une ligne sphérique en un point est la courbure moyenne d'un arc infiniment petit, pris sur elle à partir de ce point.

Courbure d'un petit cercle.

543. D'après la définition précédente, la courbure géodésique d'un petit cercle est évidemment constante. Nous commencerons par en déterminer la valeur.

Soient MM' un arc infiniment petit appartenant à la circonférence d'un petit cercle AB, et S le sommet du cône de révolution qui touche la sphère suivant ce cercle; les génératrices SM,SM' du cône sont respectivement normales aux plans des grands

cercles qui touchent le petit cercle en M et en M'. Leur angle MSM' est par conséquent la courbure géodésique totale de Tare MM', et le rapport de cet angle à la lon-

gueur de Tare infiniment petit, c'est-à-dire, d'après la définition, la courbure géodésique du petit cercle, est ™-

D'après cela, si, d'un point P pris sur la sphère comme pôle, on décrit un petit cercle dont le rayon sphérique corresponde à un angle 0, le rayon de la sphère

étant R, la courbure géodésique de ce petit cercle est g— - — ^ Si 0 est égal a -,

le cercle devient un grand cercle, et la courbure géodésique se réduit a zéro.

Cercle de courbure.

544. La courbure géodésique d'un petit cercle peut prendre toutes les valeurs depuis zéro, qui est la courbure d'un grand cercle, jusqu'à l'infini, qui est celle d'un cercle infiniment petit. On peut, par conséquent, concevoir en chaque point d'une courbe sphérique un petit cercle qui la touche et ait même courbure qu'elle. Nous nommerons ce cercle cercle de courbure géodésique (nous verrons plus loin qu'il ne diffère pas du cercle de courbure absolue qui sera défini dans un autre chapitre); le pôle du cercle de courbure recevra le nom de pôle de la courbure géodésique.

• Paie du cercle de courbure.

545. Le pôle de la courbure géodésique d'une courbe sphérique est le point de rencontre de deux grands cercles normaux infiniment voisins.

Considérons, en effet, sur une courbe sphérique, un arc infiniment petit MM', et

soient MO, M'O les arcs de grand cercle normaux à ses extrémités, qui se coupent sous un angle 0.

LIVRfc TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 577

Lorsque, le rayon de la sphère étant infini, la courbe devient plane, cet angle 0 est égal à la courbure totale de Tare MM'; mais en général ces angles sont inégaux, et nous allons d'abord déterminer leur rapport.

Menons par les points M et M' deux arcs de grand cercle MI, M'I, tangents à l'arc MM', et se rencontrant en I; le quadrilatère MIM'O, étant formé par quatre arcs de grand cercle, a pour mesure le produit du carré du rayon de la sphère par l'excès de la somme de ses angles sur quatre droits, c'est-à-dire, en nommant e la courbure totale de MM', R2(0 — s); or ce même quadrilatère peut être remplacé, si on néglige les infiniment petits du second ordre, par la surface comprise entre les arcs OM, OM' et le petit cercle décrit de 0 comme pôle avec OM pour rayon

sphérique ; elle est égale par conséquent au produit de — par la surface de la

zone à une base dont elle fait partie, c'est-à-dire, à

nous avons donc

d'où l'on déduit

e /OM\

la courbure ^r, est égale, par conséquent, à ^> cos f-g-)-

Dans cette dernière expression, le rapport de l'angle 0 à l'arc MM' peut être remplacé par celui de l'angle 0 à l'arc infiniment petit, décrit de 0 tomme pôle avec OM pour rayon sphérique, et compris entre OM et OM'. Ce rapport est lui- même évidemment égal au rapport de 2 tt à la circonférence du petit cercle, c'est-à-dire

enfin à l—7yûj ; on a, par conséquent, pour expression de la courbure,

Rsin -^r-