MM'- D . /OM\— /OM

c'est précisément (543) l'expression de la courbure du petit cercle dont OM est le rayon sphérique.

Diverses expressions de la courbure géodésique d'une ligne sphérique.

546. Adoptons pour coordonnées d'un point M de la surface de la sphère, l'arc 0 qui mesure la distance de ce point à un point fixe 0, et l'angle +, formé par l'arc 1. 73

de grand cercle OM avec un grand cercle donné passant par le point 0. Ce» coordonnées, analogues aux coordonnées polaires sur un plan, sont équivalentes aux coordonnées géographiques que Ton nomme longitude et latitude. Nous avons trouvé (121) que, dans ce système, en prenant, comme nous le ferons ici, le rayon de la sphère pour unité, la distance de deux points infiniment voisins qui ont pour coordonnées C, ty90 + dG9 ty + dty9 a pour carré,

Cela posé, soit AB une courbe représentée par une équation entre G et ^, et MM' un arc infiniment petit pris sur cette courbe à partir du point M ; calculons la courbure géodésique de cet arc MM'.

Si par les points M et M' on mène des arcs de grand cercle MI, M'I, tangenls

à MM', et se coupant en I, en nommants l'angle formé par ces arcs, la courbure

géodésique cherchée est

e MM''

Or on a, comme nous venons de le rappeler,

(i) MM' = dO'^-s'm'Od^2-

Mais en nommant V l'angle OMA, on a (93)

dû ( 2 ) lang V = sin 0 -—: ;

la surface du quadrilatère OMIM' est mesurée par l'excès de la somme de ses angles sur quatre angles droits, et l'on a

Om\l' = d^ — eH-</\, et par conséquent (3) e = (U + d\ — OMIM',

mais l'équation (a) donne

d.UnoM) (4, rfV = rfarcU„g(si„9^ )=-±-^L,