LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

D'ailleurs la surface OMIM' est égale, eu négligeant les infiniment petits du second ordre, a la surface comprise entre les arcs OM, OM' et le petit cercle décrit de 0 comme pôle avec un rayon sphérique OM, égal à 6; on a donc

OMIM' = rfvJ;(l— COS0),

et par conséquent,

la courbure ^r,i que nous désignerons par -> est par conséquent

(6) </^cosô

i -h sin2

V^/0a -h rfvj,' sina 0 '

c'est-à-dire, en développant les calculs, et chassant les dénominateurs,

* db . /</'V\3 . ^</2<P

Q^ + sin,Ocos0^j+sine-^

547, Si Ton prend pour pôle le point M de la courbe considérée, et que l'arc fixe à partir duquel se compte l'angle | soit tangent à MM', on aura 5 = o, et cette hypothèse, introduite dans la formule (7), la réduit à

L'interprétation géométrique de ce résultat est importante.

dty est, en effet, l'angle formé par Tare du grand cercle qui sert de corde à Tare MM', avec la tangente à Tune de ses extrémités, et dO est cette corde elle-même que l'on peut, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, remplacer par l'arc MM'; la comparaison de la formule (8) avec l'équation

p~~MM'' qui résulte de la définition, donne, par conséquent,

et par conséquent :

Dans une courbe sphérique quelconque, l'angle formé par la corde d'un arc infiniment petit MM', avec l'arc de grand cercle tangent à l'une de ses extrémités, est égal, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à la moitié de l'angle de contingence formé par les arcs de grand cercle tangents aux deux extrémités M et M'.

548. 11 est bien entendu, comme nous l'avons expliqué plusieurs fois, qu'en calculant une grandeur infiniment petite d'un certain ordre, nous regardons les infiniment petits d'ordre supérieur comme négligeables.

Si <p{x) désigne, par exemple, une fonction de x qui, lorsque x est infiniment

petit du premier ordre, soit infiniment petite d'ordre n9 et que le rapport ^—l ait

pour limite une constante A, nous dirons que x étant infiniment petit, la valeur de ff{x) est A.**; mais pour éviter toute confusion nous rappellerons que les infiniment petits d'ordre supérieur ont été négligés, en nommant, avec M. 0. Bonnet, cette expression Axn, la valeur principale de <p [x). En adoptant cette dénomination, le théorème démontré (45) peut s'énoncer de la manière suivante:

Si une fonction ç(a?)f infiniment petite avec x, a pour valeur principale Ax", A étant une constante, la dérivée <p' (x) a pour valeur principale nAaf1"1 .

549. La réciproque de ce théorème est exacte: si la dérivée <p' (x) est infiniment petite avec x, et a pour valeur principale nAx"'*, A étant une constante, la fonctionna?), si elle est aussi infiniment petite avec x, a pour valeur principale A#".

Posons, en effet,

çp' (x) = n Ax"-1 -f-e,

e étant, lorsque x est infiniment petit, infiniment petit par rapport au premier terme du second membre. <p (x) est (115; l'aire comprise entre Taxe des x> l'ordonnée qui correspond a l'abscisse x, et la courbe dont l'ordonnée est y' (x). Or, en négligeant le terme s, on ne supprime, par hypothèse, qu'une portion infiniment petite de cette ordonnée, et l'aire qui représente 9 [x) n'est, par conséquent, altérée que d'une portion infiniment petite de sa valeur: elle devient alors égale à la fonction qui, étant nulle avec x, a pour dérivée nAxn~\ c'est-à-dire à Ax", et par conséquent la valeur principale de <p (x) est Axn.

550. Revenons à la théorie des courbes sphériques : soit MA une courbe quelconque tracée sur une sphère, et MT l'arc de grand cercle qui la touche en M;