LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

nommons S Tare MMf compté sur la courbe MA à partir du point M, et j la distance

du 4>oint M, à l'arc MT comptée sur Tare de grand cercle M, P perpendiculaire à MT.

Il est facile de voir que l'angle MM,P, formé par M,P avec Tare MM! , a pour

cosinus -t^- Soit en effet M', un point situé sur la courbe MA, à une distance infiniment petite de M, que nous nommerons d$, et soit M\P' =y-t- dy l'arc de grand cercle analogue à M< P, et correspondant au point M'4 ; menons par le point M, un arc de petit cercle M, K parallèle a PF: on aura M't K = dy, et le triangle M^K, qui peut être considéré comme rectiligne, donnera

(i) cosM,M'lK=J.

Cela posé, supposons le point M, infiniment voisin de M, et menons Tare de grand cercle M,I tangent à MM,, et coupant en I l'arc MT; le triangle sphérique IM, P, donne, en nommant ê l'angle en I, qui est l'angle de contingence de l'arc MM<,

cos PM, I = sin e cos I P ;

cos IP différant infiniment peu de l'unité, on peut écrire, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier,

cosPM,I = sin e,

c'est-à-dire, à cause de l'équation ( i ), et en remplaçant le sinus par l'arc,

dy

mais en nommant - la courbure géodésique de la ligne MA au point M, on a, en désignant par s Tare MM, ,

p s et par conséquent

La valeur principale de la dérivée -/étant-» celle dey est (549) — et l'on a par conséquent, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au second,

«> r=fp'

Enjoignant le point M au point M, par un arc de grand cercle que nous nomme-

rons la corde de MM i9 on forme un triangle sphérique MM,P, dans lequel on a

sin M, P . .. xt

—. — . min = sin M, M, sinM.MP

c'est-à-dire, en remplaçant les sinus infiniment petits par les arcs,