M,MP

La comparaison avec l'équation (3) montre que l'angle M,MP est la moitié de l'angle de contingence s, ce qui est précisément le théorème déjà démontré (546) et dont nous avons ainsi une seconde démonstration.

L'équation (5) exprime aussi un théorème important; on peut l'écrire

elle donne, pour la courbure géodésique sur la sphère, une expression identique à celle qui a été trouvée (499) pour la courbure d'une ligne plane. Cette courbure, on le voit, est proportionnelle à la distance y correspondant à une valeur donnée de s, et fait connaître, comme nous l'avons annoncé (542), la rapidité avec laquelle la courbe s'écarte du grand cercle qui lui est tangent.

551 . Différence entre un arc sphérique infiniment petit et sa corde. — En nommant, comme nous l'avons fait (550), corde d'un arc de courbe sphérique, l'arc de grand cercle qui réunit ses extrémités, la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est infiniment petite du troisième ordre, et l'expression de sa partie principalf ne diffère de celle qui convient aux courbes planes, que par la substitution de la courbure géodésique à la courbure.

Soient, en effet, s la longueur d'un arc de courbe sphérique, compté à partir d'un point M, elclacorcfedecetarc: si l'on considère l'une des extrémités des comme fixe,

la différence s — c est une fonction de s dont la dérivée, par rapport à s, est i — -r~ ;

or, en nommant V l'angle sous lequel la cordée coupe l'arc s, on a rigoureusement

.. de

as

Ht par conséquent

de -. . , i .

i r = i — cos Y = 2 sin2 - \ .

ds 2

Si Ton suppose s infiniment petit, l'angle V est (546) la moitié de l'angle de conlin-