LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

surface est mesurée par l'excès de la somme des angles sur douze angles droits; 'or, en nommant s,, e, -h det les angles de contingence des arcs PR, QS, et ê2, £2 -+- de2 ceux des arcs PQ, RS, dans le cas supposé sur la figure, où les courbures sont toutes positives, on a, en désignant les angles de l'octogone par les lettres placées à leur sommet,

0' = 7: — e7 — dîjy I' = 7: — £, — rfs,,

et par conséquent la surface de l'octogone est mesurée par

— de — rfe,,

l'unité de surface étant, comme on sait, le carré du rayon de la sphère pris par hypothèse pour unité de longueur. D'un autre côté, la différence entre l'octogone et le rectangle PQRS est tout au plus du troisième ordre (en réalité elle est du quatrième), et l'on peut la regarder comme égale au produit de ses deux dimensions PQ x PR : on a donc

(0 </e-hrfe,=— PQxPR;

mais on a

1 — £| p.~PR*

L — JEl P>~PQ' donc

PR