LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

on a 556;

- = A, /la -j— ^i

pi « a,

et l'équation devient

*-ï=(*-*re)+*-as(*-*-re) + *'«(^)+*ï«(^) — "■

c'est-à-dire, en faisant les mêmes réductions que (513),

( 7 ) A, -T-r -h Ai —7-2 A; —. -. A* -r— -y — = — y—r •

' «a? //aj ' rfa, </a, c/a* fla: A, A

560. Les fonctions r> -,-> faisant connaître (556) la loi de variation de la distance

entre deux courbes infiniment voisines appartenant à un même système, on comprend que l'équation ( 7 ) qui a lieu entre ces fonctions et leurs dérivées exprime implicitement la loi suivant laquelle peuvent varier les côtés des rectangles infiniment petits dans lesquels une sphère peut être décomposée par deux systèmes de lignes orthogonales. Pour obtenir cette loi explicitement, il suffira de remplacer dans la formule, y e^7" Par 'eur expression en fonction des côtés infiniment petits de ces rectangles. Soient PQRS, P{ Q.R.S, ..., PP,P„ QQ«Q2.., les lignes del'un et l'autre

---4-. '<*« jR* s<

système correspondant aux- valeurs a,, *a, des paramètres, et à celles que l'on obtient en leur attribuant des accroissements infiniment petits, égaux à dvs pour le premier, et a da2 pour le second. Nommons, comme nous l'avons fait, dans le cas des courbes planes, xelv les côtés PQ, PP4... du premier rectangle, et désignons par le signe d la variation qui correspond à l'accroissement rfa, de a,, et par à celle I. 75

qui correspond à la variation da2 de a2, on a

dx = i»,Q, - i»o =^4-{^r\ <'«■ = «'*. <'* -t^ •

rta, \ /», / dx,