LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

La considération de l'indicatrice sphérique rend ce théorème pour ainsi dire évident. L'angle d'une droite et d'un plan est en effet la distance du point de la sphère qui représente la droite, au grand cercle qui représente le plan, et le théorème énoncé revient à dire, par conséquent, que le grand cercle tangent en un point de l'indicatrice sphérique est à distance infiniment petite du second ordre du point infiniment voisin de l'indicatrice.

568. Il résulte évidemment du théorème précédent que l'intersection d'un plan osculateur avec une tangente infiniment voisine est, à la limite, le point de contact de la tangente; considérons, en effet, le plan osculateur en un point M, et la tangente au point M' infiniment voisine de M; MM' étant du premier ordre, la distance M'P du point M' au plan osculateur en M est un infiniment petit d'ordre supérieur au second. Or en nommant 0 l'angle de cette tangente avec le plan osculateur, la distance au point M', de son intersection avec ce plan, est égale à -r—Qi et, par conséquent, infiniment petite, puisque 0 est du second ordre.

569. La tangente d'une courbe à double courbure est la limite de l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins.

Chaque plan osculateur étant en effet représenté sur la sphère par un grand cercle tangent à l'indicatrice sphérique, l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins est représentée par l'intersection de deux grands cercles tangents en deux points infiniment voisins de l'indicatrice, c'est-à-dire, à la limite, par le point même de l'indicatrice. L'intersection des deux plans osculateurs a donc pour direction limite celle de la tangente de la courbe, et comme elle passe par le point d'intersection de l'un des plans avec la tangente contenue dans l'autre, qui d'après le paragraphe précédent se confond à la limite avec le point de contact de celle-ci, la tangente et l'intersection limite des plans osculateurs, sont des droites parallèles qui ont un point commun, et qui, par conséquent, se confondent.

570. Chaque point d'une courbe à double courbure est la limite de l'inlersection de trois plans osculateurs infiniment voisins.

Il semble, au premier abord, que ce théorème peut être considéré comme une conséquence immédiate des deux précédents.

L'intersection de trois plans osculateurs infiniment voisins peut être en effet considérée comme l'intersection de l'un d'entre eux avec la droite d'intersection des deux autres, qui (569) est une tangente à la courbe, et dont l'intersection avec le plan osculateur voisin se confond, à la limite, avec son point de contact.

Mais un tel raisonnement manque absolument de rigueur.

L'intersection de deux plans osculateurs n'est pas, en effet, une tangente à la I. 76

courbe, mais une droite qui a pour limite la tangente; lors donc que, dans le raisonnement précédent, nous considérons l'intersection de deux plans osculateurs comme tangente à la courbe, nous la remplaçons par sa limite, en lui faisant subir un déplacement infiniment petit. Or quand il s'agit de déterminer l'intersection de deux droites infiniment voisines, un changement infiniment petit dans la position de Tune d'elles peut déplacer d'une quantité finie, ou quelquefois même faire disparaître entièrement son intersection avec l'autre.

• Il faut donc démontrer directement que l'intersection de trois plans osculateurs infiniment voisins est un point.de la courbe.

La considération de l'indicatrice spbérique montre, tout d'abord, que l'intersection de deux d'entre eux forme avec le troisième un angle infiniment petit du second ordre. Cela revient à dire, en effet, que trois grands cercles touchant l'indicatrice sphériquc en des points infiniment voisins, l'intersection de deux d'entre eux est à distance infiniment petite du second ordre du troisième.

Lorsqu'une droite forme avec un plan un angle infiniment petit du second ordre, un point de cette droite dont la distance au plan est infiniment petit d'ordre supérieur au second est, nécessairement, a une distance infiniment petite de l'intersection de la droite et du plan. Or le point commun aux trois plans osculateurs est l'intersection du troisième de ces plans avec la droite suivant laquelle se coupent les deux premiers; si donc nous trouvons sur cette droite un point dont la distance au troisième plan osculateur soit infiniment petite du troisième ordre, il sera infiniment voisin du point commun aux trois plans osculateurs avec lequel il se confondra à la limite. L'intersection du premier plan osculateur avec la tangente contenue dans le second est précisément un point qui remplit cette condition. Il appartient en effet à l'intersection des deux premiers plans osculateurs, et la distance au troisième est un infiniment petit d'ordre supérieur au second, parce que ce poiut est situé sur la tangente qui le contient à distance infiniment petite du poiut de contact, et par conséquent aussi aune distance infiniment petite de son intersection avec le troisième plan osculateur qui forme avec elle un angle infiniment petit du second ordre. Ce point, qui se confond à la limite avec l'intersection des trois plans osculateurs, se confond aussi, évidemment, avec le point où ils touchent la courbe, et la coïncidence de ces points, à la limite, se trouve ainsi démontrée.

Surface enveloppe des plans osculateurs.

571. Les plans osculateurs d'une courbe à double courbure enveloppent une surface développable qui est le lieu de leurs intersections successives, et comme, d'après les théorèmes précédents, l'intersection de deux plans osculateurs infini-

ment voisins est une tangente, nous pouvons conclure que le lieu des tangentes à une courbe à double courbure est une surface développable, dont les plans tangents sont les plans osculateurs de celle-ci.

Lorsque des droites se succèdent dans l'espace suivant une loi continue, elles forment en général une surface réglée qui n'est pas développable, et dont le plan tangent n'est pas le même tout le long d'une génératrice. Il résulte de ce qui précède que de telles droites ne sont pas, en général, tangentes à une même courbe, et n'ont pas de courbe enveloppe. Il y a donc une condition nécessaire pour que des droites qui se succèdent suivant une loi donnée soient tangentes a une même courbe, et nous devons étudier cette condition qui est de grande importance.

La géométrie nous apprend, tout d'abord, que si des droites sont tangentes à une même courbe, la plus courte distance de chacune d'elles à la droite infiniment voisine est un infiniment petit d'ordre supérieur au premier, l'infiniment petit du premier ordre étant, bien entendu, la variation du paramètre dont la valeur définit chaque droite.

Si, en effet, les droites sont tangentes à une même courbe, le point de contact de l'une d'elles avec la courbe a, pour chaque valeur d#i paramètre en question, une position déterminée. La distance de deux points de contact infiniment voisins est donc de même ordre (4) que la différence des paramètres correspondants, c'est-à-dire du premier ordre, et la plus courte distance de deux tangentes, plus petite que la distance de l'une d'elles au point de contact de l'autre, est, évidemment, infiniment petite par rapporta la distance de leurs points de contact, et, par conséquent, d'ordre supérieur au premier.

Réciproquement, pour que des droites soient tangentes à une même courbe, il suffit que la plus courte distance de chacune d'elles à la droite infiniment voisine soit un infiniment petit d'ordre supérieur au premier. Considérons, en effet, sur chaque droite, le point où se mesure sa plus courte distance avec la droite infiniment voisine: le lieu de ces points est une courbe, et la distance de deux d'entre eux,OetO', situés sur des droites infiniment voisines, A et A', est de même ordre (4) que la différence des paramètres relatifs à ces droites, c'est-à-dire du premier. Cette distance est par conséquent infiniment grande par rapport à la perpendiculaire abaissée de l'un de ces points sur la droite qui passe par l'autre, car, par hypothèse, cette perpendiculaire mesure la plus courte distance qui est infiniment petite d'ordre supérieur au premier. Il en résulte que la droite 00' forme des angles infiniment petits avec chacune des droites A et A', et ces droites sont, par conséquent, tangentes à la courbe lieu des points 0 et 0'.

572. Lorsque des droites sont données par leurs équations, on peut exprimer facilement, sans faire intervenir l'expression de leur plus courte distance, qu'elles sont tangentes à une même courbe.

Soient

x = az -\- p,

y=bz-^-q

les équations d'une droite mobile, a, b, p, q étant des fonctions données d'un même paramètre a; si cette droite est constamment tangente à une courbe, les coordonnées du point de contact étant désignées par x, y, z, devront satisfaire, nonseulement aux équations ( i ), mais encore à celles de la droite infiniment voisine, si l'on y néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au second. Une tangente passe, en effet, à distance infiniment petite du second ordre du point de contact de la tangente infiniment voisine. On a donc

x = (a -h da) z -f- p -f- dp,

y = ( b -f- db ) z -h q -h dq ,

et par conséquent, à cause des équations (i),

o = zda -h dp, (3)

o = zdb -h dq.

Il semble que les équations (3), d'après la manière dont elles sont démontrées, ne doivent être satisfaites qu'à la condition de négliger les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, mais cela ne peut avoir lieu sans qu'elles soient rigoureusement exactes, a, b, p, q, étant, en effet, des fonctions du paramètre a, da, db, dp, dq, sont proportionnels à du., et, en supprimant ce facteur, on obtiendra des équations entre quantités finies dont les deux membres ne peuvent différer infiniment peu sans être rigoureusement égaux.

Les équations (3 :, pour être compatibles, exigent

, x da dp

Si cette condition est remplie, on peut satisfaire aux équations (i) et (3), et trouver, sur chaque droite, un point dont la distance a la droite voisine soit infiniment petite d'ordre supérieur au premier. Le lieu de ces points est évidemment une courbe tangente à toutes les droites données.

573. Il suffit, d'après ce qui précède, que, dans un système de droites, la plus courte distance de deux droites voisines soit infiniment petite d'ordre supérieur au premier, pour que les droites soient tangentes a une même courbe; mais on doit à M. Bouquet la remarque curieuse que cette plus courte distance est toujours précisément du troisième ordre, et qu'il est impossible qu'elle soit du second.