LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

38. On peut étendre la règle donnée pour former la dérivée d'une fonction de fonction a des expressions liées a la variable x au moyen de plusieurs fonctions intermédiaires. Posons, en effet,

u = f(x), f=+(iO, w=f[v), j=F(«/),

et cherchons la dérivée de y par rapport à x. Soient A x un accroissement attribué kx; A m, Ar, Aw, Ay, les accroissements correspondants de u, v9 w, y : on a identiquement

ly \y AtvAi> Au

A.r Acv Ai> Am Aa:

et Ton voit que si Aa? tend vers zéro, lepremier membre a pour limite la dérivée de y par rapport à a?, et les facteurs du second membre tendent vers les dérivées de y, w, v, w, prises, pour chacune d'elles, par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement. On en conclut que la dérivée de y est le produit obtenu en multipliant les dérivées des diverses fonctions y, «r, v, u, prises, pour chacune, par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement.

Dérivée d'un produit.

39. Soient a, v, w, des fonctions données d'une même variable x, nommons y leur produit dont on veut avoir la dérivée. On a

On en conclut, en prenant les logarithmes népériens des deux membres,

1 y = 1 u -+- 1 i> -+- \wy

et si l'on prend les dérivées des 'deux membres, on trouve, en appliquant la règle des fonctions de fonctions et désignant pary, u\ v\ w\ les dérivées dey, u, v, w,

1 j l i l , l , -y = - «'-+--(/ h — wS

yJ u v w

d'où l'on déduit

r' = •£ m' -j- ^V + — iv' = vwu* -f- uwv' -h uvw'.

Ainsi, la dérivée d'un produit est la somme des produits obtenus en multipliant successivement la dérivée de chaque facteur par le produit de tous les autres.

Dérivée d'un quotient.

40. Soient u et v deux fonctions d'une même variable a?, nommons y leur quotient dont on veut avoir la dérivée. On a

on trouve, en prenant les logarithmes des deux membres,

lj-=l«!-W%

et si Ton prend les dérivées des deux membres, cette équation donne, en adoptant les mêmes notations que précédemment,

y ~~ « ** d'où Ton déduit

j yu' yi/ vu' — uv'

Telle est la formule qui donne la dérivée d'un quotient-* lorsque Ton connaît les dérivées u' elv* de ses deux termes.

Dérivée d'une puissance.

XX . Soient u une fonction de x, et m un exposant quelconque, positif ou négatif. Si Ton pose

y = "mf

en prenant les logarithmes des deux membres on en conclut,

et si l'on prend les dérivées des deux membres par rapport à x, on a, en adoptant toujours les mêmes notations,

y mu' •

d'où l'on déduit

r* = — ï — = mum ' u

Remarque. — Si l'on suppose u = x, on aura u' = i, et la formule précédente montre que la dérivée de la fonction x"1 est ma?1-*. Ce résultat avait été obtenu dans le cas d'un exposant entier (26) ou fractionnaire et positif ■ 37 j. On voit qu'il est entièrement général, car la démonstration précédente s'applique à toutes les valeurs positives ou négatives de m sans exception.

Dérivée de vl .

42. Considérons enfin l'expression composée u\ dans laquelle u et *■ désignent des fonctions de la variable x. Posons