LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
supérieur au second,
dx . i d'x , .
CW 2 US1
r-f--f </*+- -jfrfi1, as 2 ris*
tlS 2 «*'
Si Ton porte sur la tangente en M, à partir du point M, une longueur MT égale
à ds, les coordonnées du point T sont, rigoureusement,
dx . dy . dz ,
*+Tsds, X+^ds, Z+jjds,
et, par conséquent,
on en conclut, d'après la formule (3) du paragraphe précédent, r * 1 2M/rr
i?; p ~ ds> '
La différence entre Tare infiniment petit MM' et sa corde étant du troisième ordre, dans le triangle TMM', la différence des côtés MT, M' M est du troisième ordre, et infiniment petite par coùséquent, par rapport à la base M'Tqui est du second. On en conclut bien aisément que l'angle M'TM diffère infiniment peu d'un droit, et que M'T peut être remplacé par la distance du point M' a la tangente MT; on peut en même temps substituer à l'arc ds la ligne MM', et l'équation (2) devient alors entièrement semblable à celle qui a été démontrée (499), pour les courbes planes.
586. Le même théorème peut être présenté sous une forme différente, dont nous aurons à faire usage. La distance de l'une des extrémités d'un arc infiniment
s1 petit s, à la tangente passant par l'autre extrémité, est représentée par — * p désignant le rayon de courbure de l'arc.
Normale principale.
587. La normale qui, partant d'un point d'une courbe, passe par le centre du cercle osculaleur se nomme la normale principale. Les équations d'une courbe étant données, il est aisé de déterminer, en chaque point, la direction de la normale principale. Le problème est en quelque sorte résolu à l'avance par les formules qui donnent les équations du plan normal et du plan osculateur, dont la normale principale est l'intersection. Nous allons chercher cependant l'expression des cosinus des angles formés par cette normale avec les axes.
Soient M et M' deux points voisins d'une courbe, nommons s l'arc compté à partir d'une origine arbitraire et se terminant en M; s-hds l'arc qui se termine en M'; ds que nous regardons comme positif désignant, par conséquent, Tare MM'. Par l'origine des coordonnées, menons deux droites OP, OP', chacune de longueur égale à l'unité, et parallèles aux tangentes en M et M'; la droite PF est parallèle à la normale principale : le triangle OPP' étant en effet isocèle, et l'angle 0 infiniment petit, PP' est perpendiculaire à OP, c'est-à-dire à la direction de la tangente; de plus, le plan POP' qui la contient étant parallèle à deux tangentes infiniment voisines est parallèle au plan osculateur: une ligne perpendiculaire à la tangente, dans un plan parallèle au plan osculateur, est évidemment parallèle à la normale principale.
Les coordonnées du point P sont les cosinus des angles formés par la tangente en M avec les axes de coordonnées; en les nommant cos or, cos ]3, cos y, celles du point P' sont
cos x-hd cos x , cos fi -f- d cos fi , cos y-hd cos y . Les cosinus des angles )., /x, v formés avec les axes par la direction PP\ sont
d cos a
cos /. =
(0 cosu =
cos y =
V (d cos x Y -h ( d cos fi )7 H- ( d cos y )'
d cos fi
\/( d cos x y -+- ( d cos fi y -h ( d cos y y
d cos y
\J( d cos x y -+- ( d cos fi y -+- ( d cos y y Nous avons trouvé (584), en nommant p le rayon de courbure,
i __ \/(dcos<xy -{-{dcosfiy -hjdcosyy P ds
Les formules (i) deviennent par conséquent
, d cos a
cos >. = p —=— ,
COS p. = p
ds
rfcosft
— ds~
tf cos y
COS V = O r -*-•
588. Il importe de distinguer sur la normale principale les deux directions opposées. Les formules précédentes se rapportent a la droite qui, partant de la
courbe, se dirige vers le centre de courbure. -£» ■£, -4 sont en effet les cosinus
des angles formés avec les axes par la tangente considérée comme se dirigeant du point de contact vers le point infiniment voisin qui correspond a un accroissement positif de l'arc 5. Si donc M et M' sont deux points voisins, et que les arcs soient comptés d'une origine A, les droites OP, OF, considérées dans la démonstration,
sont parallèles à MT et M'!7, et dirigées dans le même sens, et la ligne qui réunit le point P au point P' est évidemment dirigée dans le même sens que la normale principale qui se dirige du point M vers le centre de courbure.
Si les arcs étaient comptés en sens opposés, l'accroissement MM' de l'arc s étant
négatif, les directions définies par les cosinus -p> 7T' T Rangeraient de sens,
et il en serait de même des lignes OP, OP\ et la ligne PP', changeant de sens, serait dirigée en sens contraire du rayon de courbure qui, dans ce cas, forme avec les axes des angles dont les cosinus sont désignes contraires à dcosa, rfcosj3f rfcosy; mais comme, dans le cas actuel, ds est négatif, ces cosinus restent représentés, en valeur et en signe, par
d cos g d cos (3 d cos y ds as ds
Expression de la seconde courbure.
589. La seconde courbure d'une courbe est le rapport de l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins a l'arc infiniment petit qui sépare leurs points de con-
tact; si Ton nomme |, u, Ç les angles formés par Taxe du plan osculateur avec les axes de coordonnées
y dxd*y — dyd'x cos£ = J ^ ,
, , dyd*z — dzdiy
[\j COS 'u = -^ g 'L ,
dzd*x — dxd*z cos t = =r >
en posant
(i) ])=\/{dxd\r—dyd*x)2-+-(dyd>z — dzd\ry-h{dzd*x — dxdiz)i,
on a, d'après Tune des formules qui donnent (584) l'expression du rayon de courbure p ,
y dxd*y — dyd2x
//v dyd*z — dzd*y (4) cosu = p- ^ ^,
cos£ = p dzd*x — dxd*z
L'angle de deux plans osculatcurs est égal à celui des droites qui leur sont normales : si donc par l'origine des coordonnées on mène des parallèles aux axes de deux plans osculateurs infiniment voisins et que, sur chacune d'elles, on porte une longueur égale a l'unité, la distance des points ainsi obtenus mesurera l'angle yj des deux plans osculateurs. Les coordonnées des deux points étant évidemment
cos£, COSJ, cos?, cos;-h</cos>, cos-j -f- d cos v , cos E -f- dcosË , on a
(5) y;=:V/(c/c0S$)2-h(rfC0Sl,)'-h(^C0SÇ)2.
Si la seconde courbure est représentée par -? ona par définition
/• ds et, par conséquent,
l __ ( rfcos g )2 -h ( d cos n Y ■+- ( d cos E )a 7 r'"~ ds'
