LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES^ DES DÉRIVÉES
En prenant les logarithmes des deux membres on en conclut
Kb et si Ton prend les dérivées par rapport à x des deux membres de cette équation,
en appliquant au second la règle donnée (39) pour la dérivée d'un produit, on a
d'où l'on déduit
Si Ton suppose, par exemple,
v=x, u=x, on aura
et la dérivée de af est
Quelques applications. •
43. Les résultats obtenus dans ce chapitre permettent d'obtenir la dérivée, d'une fonction explicite formée d'une manière quelconque au moyen des opérations simples. Il est important de se familiariser avec ces premiers principes que nous résumerons en en donnant quelques applications.
* 1 ° Dérivée de arc tang ^*J°~£) = y
Posons
on aura
y = arc tangw,
et y est une fonction de fonction, dont la dérivée est le produit de — — , par la dérim vée de u. Or en appliquant la règle (40) on trouve pour dérivée de u
m a[a> — Zx*)* ~~tf(a* — 3*')''
d'ailleurs
1 __aa(qa— 3s*)»
i+tt1"" (a» -h*')3 '
. la dérivée demandée est donc, toutes réductions faites,
O résultat était facile a prévoir, car les formules connues de la trigonométrie i
trentque la fonction v est égale à 3 arc tang - etf en l'écrivant ainsi, on trouve il
«Maternent l'expression précédente pour dérivée.
2° Dérivée de 1/ : — =.v.
y « — sin.r
(Considérant y comme la puissance - de la fraction ^',. — et traitant cette f
tion par la règle donnée '41 \ on trouve pour dérivée de v
i cos3r(i — sinar)-4-cos.r(i-f-sin3r) . ^.cosj: i
(i — sin*)1 ~ or,- sinx)v/ii-sin»jr)— i— sii
o / M-Shl£
' y ' — sîiix On peut parvenir au même résultat en remarquant que
/i-hsinx /ir x\
Vï=a5ï=u,*U+;)!
or
la dérivée de tang (j -h - J est égale à
■IW)
, et culte expressioi
équivaleute à celle qui précède.
3° Admettant la formule
sinx4-sina.r -+- . . . -4- sin/ix =
«+l HX
sin .r.sin -
*in
en déduire l'expression de la somme
cos x 4- *> ros :>..r -H ... 4- n cos ;*jt . 11 suttit de prendre les dérivées des deux membres et Ton a
cosx-t- 2 cos 2. r 4- 3cos3,r 4-. . .4- ncos/ij: —
sin - sin x sin5 —
/fur
4° En admettant la formule
sin .r . sin ( x H ) sin I x H ) ... sin x 4- - =
en déduire l'expression de la somme
Cul ( X 4- "1 -+-... 4- COt ( X 4- M"" ? ] v.
cot A'
