LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Il suffit de prendre les logarithmes, puis les dérivées des deux membres de l'équation ; on trouve

cot x 4- cot ( x -h — ) -f- . . . -f- cot ( x H * ) = m cot mx.

Emploi des dérivées pour l'étude des fonctions .

44. Lorsque l'accroissement infiniment petit d'une fonction est de même signe que celui de la variable, on dit que cette fonction est croissance; elle est décroissantedansle cas contraire. En adoptant ces définitions et disant, par exemple, qu'une fonction est croissante, cela signifie évidemment croissante avec la variable.

Lorsqu'une fonction ç (x) est croissante, sa dérivée est positive, car la fraction

— 1 — ^— - dont cette dérivée est la limite, est constamment positive; si la fonction (f (x) est au contraire décroissante, la dérivée est négative. Ces remarques évidentes sont souvent utiles dans l'étude des valeurs successives d'une fonction; nous en donnerons quelques exemples :

i° Considérons la fonction

la dérivée est

xcosx — sm.r

et comme, entre les limites x = o, x = -* on a toujours x < tang x, et par suite

x cos x — sin x < o, cette dérivée est négative : la fonction est donc décrois-

santé ; et cette fonction étant d'ailleurs égale à l'unité pour x = o, et à - pour x = -» elle est, pour toute valeur intermédiaire de x, plus petite que l'unité et plus grande que^-

2° Soit la fonction

j = /(i-hir) — x;

la dérivée est

Elle est négative pour les valeurs positives de x, la fonction est donc décroissante, et comme elle est nulle pour x = o, on a pour toute valeur positive de x

3° Considérons enfin la fonction

yz=i (i-\-x) — X H

dont la dérivée est

y' = n-jr = .

cette dérivée étant positive pour les valeurs positives de x, la fonction est croissante. et comme elle est nulle pour x = o, elle est constamment positive et Ton a

/(i +x) — jr-h— >o,

en sorte que, pour toute valeur positive de x, /( i -f- ary est compris entre œ et ac — - • on peut par conséquent le représenter para- 5 étant moindre que l'unité.

Ordre de grandeur d'une dérivée infiniment petite.

45. Considérons une fonction de x. ç (x), qui s'annule pour x = o. La dérivée ç'(ar), pour la valeur zéro de la variable, est égale, par définition, à lim y ****' ? ° .

c'est-à-dire à la limite du rapport ^— -• Elle est nulle par conséquent toutes les

fois que pour de très-petites valeurs Aox, f i.r) est infiniment petit d'ordre supérieur à celui de x.

On peut aller plus loin : lorsque x étant infiniment petit du premier ordre, o ( x ; est infiniment petit de l'ordre n9 o' [x) est infiniment petit d'ordre n — i. On peut en effet, dans ce cas, représenter ffix) delà manière suivante :

A étant une constante et £ une fonction de x qui s'annule avec la variable. On aura par suite, en nommant ê' la dérivée de c,

(?.; ?' (x) = nx—1 f \ -f- i) + x" i'.

Or je dis que xî tend vers zéro. Cela est évident lorsque s ne croit pas indéfiniment. Examinons donc seulement le cas ou s' est infini lorsque x est nul; considérons la courbe dont l'équation est v = i , cette courbe passe par l'origine et est en ce point tangente à l'axe des y.