LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

en différenciant par rapport à Tare s de la courbe considérée et posant

dx* — r> dxdy~~*' dx*~ '

on en déduit

d*z = pd'x -f- qd7y -+- rdx7 -h isdxdy -h /rfr% et par conséquent (9) d*z — pd*x — qd*jr= rdx7 4- isdxdy -f- tdy*,

ce qui donne

ou, en nommant a, /3, 7 les angles que la tangente à la courbe forme avec les axes,

(11) D = rcos,a-ha5COsacosp-h/cosa(3,

et enfin

(,a, p= y'i-*- />»-*- g' cosfl

r cos' a -h 25 cos a cos (3 -f- / cos* (3

On voit, par cette formule, que a et ]3 restant constants, p est proportionnel a cos 6. Si la courbe considérée a son plan osculateur normal à la surface, l'angle 9 est nul, et le facteur cos 6 se réduit à l'unité; la formule (12) exprime alors le rayon de courbure de la section normale conduite suivant la tangente considérée. On voit que pour obtenir le rayon de courbure de toute autre ligne située sur la surface et ayant même tangente, il faut multiplier le rayon de la section normale par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec le rayon de courbure de la courbe considérée.

633. Si nous nous bornons à considérer les sections normales faites en un point donné 0 d'une surface, l'expression générale de leur rayon de courbure est, d'après ce qui précède,

r cos*a -f- 21 cos a cos (3 -h t cos* (3

"ïft>

p9 qf r, s, t sont des dérivées partielles, elles se réduisent pour le point considéré à des constantes dont la valeur numérique doit êWe considérée comme connue. Les seules quantités qui varient avec la direction de la section sont les angles ce et (3 formés par la tangente avec les axes des X et des Y.

Pour déterminer les directions des sections principales, il faut chercher quelles valeurs de a et de |3 rendent maximum ou minimum le dénominateur

( 2 ) r cos2 x -f- 2 s cos a cos (3 -h t cos* (3 ;

cos a et cos ]3 étant liés k l'angle y formé par la tangente avec Taxe des" z9 par l'équation

( 3 ) cos' a -f- cos* (3 -f- cos* y = i ,

qui a lieu pour toute direction, et par la relation

( 4 ) cos y = p cos a -+- q cos (3,

exprimant que la direction de la tangente est perpendiculaire à la normale, qui forme, comme on sait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à/?, y, — r.

L'élimination de cos y entre les deux équations (3) et (4) donne

(5) (i -h p1 ) cos* a -h ipq cos a cos (3 -h ( i -f-fl'Jcos1 (3= i;

l'expression (2) devant être maxima ou minima, sous la condition que l'équation (5) soit satisfaite, il faut égaler à zéro les deux différentielles, et l'on a

( r cos a -h s cos [3 )d cos a -h (5 cos a -h / cos (3) rf cos (3 = o, [( 1 -\-p2 ) cos a -+-/rç cos (3] rf cos a -f- [ ( 1 -f- q2) cos $-\-pq cos a] d cos J3 = o.

De ces deux équations on déduit, par l'élimination des différentielles,

rcos«-f-JCQs(3 / cos (3 -t- s cos a

* (i-h/j*)cosa -h/^cos(3 (1 -+-ç*)cos(3-h/rç cosa'

c'est-à-dire

(7 ) [/>0/ — ( 1 -h ^j)j] cos3 (3 -f- [(!-+-/>*)/ — ( i-h ç')r] cos acos(3 -h [(! + />')$. — /^r]cos*a = o,

et cette équation jointe aux relations (3) et (4j déterminera la direction des sections principales. On peut aisément vérifier que leurs directions sont perpendiculaires l'une à l'autre. Écrivons en effet l'équation f 7 \ sous la forme

(H) A cos7 (3 -f- B cos a cos J3 -h C cos2 a = o.

Soient a, /S, y, a', |5\ y' les angles formés avec les axes par les tangentes aux seclions principales, on a

cos y = p cos z-h q cos ,3 ,

cos y' = p cos a' H- q cos 5' ,

et l'équation qui exprime la perpendicularité,

cos et cos 7! -h cos (3 cos ;3' -h cos y cos y' — o, peut être remplacée par

cos 2. cos x' [i-hp2)-\- cos -3 cos (3' ( 1 -h q' ) -+- pq [ cos x cos 3' -+- cos j3 eus a') = o ,