LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
c'est-à-dire, en divisant par cos |3 cos j3',
cosa cos a' , , ,. , , , lX , /cos a cos a'\
Or ^4» ^|> sont les deux racines de l'équation (7) dans laquelle on concos (3 cos (3' 1 w t
sidère ^ comme inconnue; on a donc
cos (3
cos PL cos a! __ A
cos (3 ' cos £' — C '
cos a cos a' B
cos (3 "^ cos (3' C
et l'équation (9) devient
ou
A (H-/>*) -h C(i -h 9») — B/rç = o,
équation qui devient identique lorsque Ton y remplace A, B, C par leurs valeurs.
634. Après avoir déterminé les directions des sections principales, il nous reste à trouver l'expression des rayons de courbure correspondants. Reprenons pour cela l'équation
' P r cos7 a -f- 2$ cos a cos (3 -f- /cos'j3 '
et la relation
.fi rcosa-f-$COs(3 /cos(3-f-*cosa
* (i-hp*) cos a -h />ç cos (3 ~~ (1 4- q*) cos $ -\- pq cos a ♦
Si l'on multiplie par cos a les deux termes de la fraction qui forme le premier membre de l'équation (6), et par cos jS ceux de la fraction qui forme le second membre, et que l'on ajoute ensuite les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux pour former une fraction égale à chacune des deux autres, le numérateur de la fraction ainsi obtenue sera précisément le dénominateur D de la valeur de p, et le dénominateur, en vertu de l'équation (5), est égal à l'unité. On a donc
, \ /• cos a -b s cos (3 .
( 1 -f- p%) cos a -h pq cos (3 ~~ '
/ cos (3 -J- s cos a . ' ' ( 1 -f- q3 ) cos (3 -f- pq cos a ~~
662 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL. En éliminant entre ces équations le rapport 1» on trouve
(i2) (i4-/>2-f-g')D2 — D [(!+/>')/ -h (i4- q') r—*pqs] -h /•/— 53 = of
et puisque Ton a
on en conclut
(i3) pi{rt — s*)—pji-hp* + q*[(i-hp>)t-i-(i-+-q>)r — 2pqs]+(i-hp2-hqiy=o.
Cette équation a pour racines les deux rayons de courbure principaux de la surface au point considéré; ces rayons sont toujours réels; il est facile de vérifier que l'équation a en effet toujours ses racines réelles; d'après la relation qui lie p à D, il suffit de prouver qu'il en est ainsi de l'équation ( i a ) en D : or cette équation peut être mise sous la forme
(i4) [D(i4-/>')— r] [D(i-h ?') — /] — (5 — /rçD)' = o,
et il est clair qu'en substituant successivement à D, dans le premier membre, les valeurs
D = — oo, D= — — , , D = -*-oo, i-hp'
on obtient les signes + ,—,-*-; l'équation a donc deux racines réelles, Tune plus petite et l'autre plus grande que — ^— ;- On aurait pu substituer à cette fraction — — , > et l'on aurait vu de même que l'une des racines est moindre, et l'autre plus grande que 2-
635. Il résulte des remarques précédentes que les deux racines de l'équation en D, et par suite les deux valeurs de p, ne peuvent être égales que si Ton a
i-hp7 i + q
('e plus, la valeur commune de ces deux fractions est alors évidemment la valeur de D qui satisfait à l'équation ( i4), et l'on doit avoir par conséquent
s — pqD = o, c'est-à-dire que chacune des fractions doit être égale à —
