LIVRE TROISIÈME. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que les rayons de courbure soient égaux sont par conséquent

i -hp7 i~\-q2 pq

Il est important de remarquer qu'elles sont au nombre de deux, et que, réunies à l'équation de la surface, elles déterminent par conséquent un nombre fini de points que Ton nomme des ombilics, et pour lesquels toutes les sections normales ont même courbure.

' 636. L'équation

( i ) A cos' ($ -H B cos a cos (3 -h C cos3 a = o ,

à laquelle satisfont les cosinus des angles formés avec deux des axes par l'une des directions principales, conduit à une relation remarquable entre les variations infiniment petites des quantités x, y, zf p, q% lorsqu'on se déplace successivement sur chacune des deux sections. Désignons en effet par la lettre d la différentielle relative à un déplacement effectué sur l'une des sections, et par la lettre i celle qui se rapporte à un déplacement sur l'autre section: les valeurs de cos ]3 et de cos a correspondant à la première section sont proportionnelles à dy et à dx, et celles qui

correspondent à la seconde le sont à âyelzâa;;-£ et J? sont par conséquent les

deux racines de l'équation

(i) Aw'-f-Ba-hC = o,

et l'on a

ÉI.*? — Si

dx ' dx ~~ A *

dx dx A

On a d'ailleurs identiquement, comme on peut le vérifier, d'après les valeurs de A, B, C,

Ar-hC* = B$,

et par conséquent, c'est-a-dire

1 dx a* + *v<te **/

dx ( ràx-\-sày) -h dy (six-h tiy) = o;

mats on a,

rèx+$èy = $p, six + tày^àq,

par conséquent,

( 3 ; dxop-\-dyoq = o;

on a évidemment aussi

;4) oxdp-\-oydq = o.

(les deux équations sont l'expression d'un théorème fort important sur lequel nous aurons à revenir; elles expriment que les normales à la surface menée par deux points infiniment voisins d'une section principale peuvent être considérées comme se rencontrant lorsque Ton néglige les infiniment petits du second ordre. Les cosinus des angles formés avec les axes par la^tangente à la section principale sont en effet proportionnels à dr, dy, dz, et ceux des angles formés par la normale le sont a />, y, — i . Ces deux directions étant perpendiculaires, on a

(5) pdx-\-qdy — dz = o.

La normale au point dont les coordonnées sont x -+- àx,y -f- ây, z -h âz, forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à/? -+- dp, q -+- &q, — i , et la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit perpendiculaire à la tangente de la section principale au point x, y, z est

dx(p + dp)-\-dy[q + oq) — dz = o,

qui se réduit, en vertu de (5), à

(6) dxàp -+- dy$q = o.

Cette équation exprime donc que la tangente à l'une des sections principales en un point, est perpendiculaire à la normale menée à la surface par le point infiniment voisin de l'autre section principale. 11 faut et il suffit pour cela que les deux normales voisines se rencontrent et soient dans un même plan perpendiculaire à la tangente considérée. Comme on a d'ailleurs, dans les calculs, négligé les infiniment petits du second ordre, la rencontre des deux normales n'a pas lieu rigoureusement, et l'on doit dire seulement que leur plus courte distance est un infiniment petit d'ordre supérieur au premier. Les deux normales infiniment voisines qui se rencontrent étant situées dans le plan de la section principale, leur point d'intersection est précisément le centre de courbure de celle-ci, et la distance de ce point à la surface est égal à l'un des rayons de courbure principaux.

637. Les théorèmes précédents conduisent à une relation fort simple, qui caractérise les directions des sections principales, et peut dans certains cas être employée utilement. •

Désignons par X, Y, Z les cosinus des angles formés par la normale de la surface considérée avec les axes de coordonnées, et considérons la section principale