LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Soient MT la tangente à cette courbe en un point M infiniment voisin de 0, et MQ l'abscisse du point M. s* est la tangente de l'angle QMT, donc xi' est égal a QT, il est, par suite, moindre que QO, c'est-à-dire moindre que î; b tendant vers zéro avec x, il en est donc de même de xe*. D'après cela xni est infiniment petit par rapport à of~\ et l'expression (2) de 9' (x) est un infiniment petit de l'ordre

n — i . On voit aussi que le rapport ?-~ a Pour limite nA.

Cette remarque a été utilisée par M. 0. Bonnet dans la démonstration de plusieurs propositions importantes dont nous parlerons plus tard.

Différentielle d' une fonction d'une seule variable.

46. Si l'on représente par 9 {x) une fonction de la variable x, et par 9' (x) sa dérivée, on a

ï' (.r) = lim 2-i J Li — ',

h étant infiniment petit. Par conséquent, en désignant par e un autre infiniment petit,

f{x + h) — f[x) = h[i'[x) + i]=*hv'[x) + k*;

©' (x) étant une quantité finie, he est infiniment petit par rapport à hy' (x), et la différence 9 ( x -h h) — 9 ( x) est égale à'Ay' (x), en négligeant une portion infiniment petite de sa valeur.

Le produit A 9' (x) peut par conséquent (11), lorsque h est infiniment petit, être substitué à l'accroissement 9 (x-hh) — 9 (x), dans tout problème où il s'agit de calculer un rapport ou une somme d'infiniment petits; on donne à ce produit le nom de différentielle de <p{x) et on le représente en écrivant la lettre d devant la fonction.

Conformément à cette notation, la différentielle de x se confond avec l'accroissement même de cette variable, puisque la dérivée est dans ce cas égale à l'unité. En substituant donc, à la lettre A, l'expression équivalente dx, la différentielle d'une fonction 9 (x) prendra la forme

d . y(x) = y (x) dx.

C'est celle dont nous ferons habituellement usage.

Cette différentielle d. 9 {x) n'est pas, ainsi qu'on l'a expliqué, rigoureusement égale à l'accroissement de 9 (x), mais elle peut le remplacer lorsqu'il est infiniment petit, et il n'en résulte aucune erreur sur les limites des sommes ou des rapports dans lesquelles il figure.

47. La représentation géométrique des résultats ajoutant presque toujours à la I. 6

clarté, il est bon d'indiquer ici la signification géométrique de la différentielle. Considérons la courbe dont l'équation en coordonnées rectilignes est

le coefficient angulaire de la tangente au point dont les coordonnées sont or et y est (24) 9' [x\, et l'équation de la tangente, en nommant / etu les coordonnées courantes de cette droite, c'est-à-dire les coordonnées de l'un quf Iconque de »es points,

Si donc, à partir du point de contact dont les coordonnées sont x et y, on attribue à l'abscisse d'un point de la tangente un accroissement / — x = A, l'accroissement correspondant de l'ordonnée est

et la différentielle /* 9 ' \x } est l'accroissement de l'ordonnée v, correspondant à un accroissement A de l'abscisse, lorsqu'on substitue à la courbe sa tangente. Lors donc qu'on remplace l'accroissement 9 (x -+- h) — 9 ( x), de la fonction 9 (jp), par la différentielle 9' (a?) A, cela revient à remplacer un arc de courbe infiniment petit par sa tangente. Ces deux substitutions sont équivalentes, et permises dans les mêmes circonstances.

48. La différentielle d'une fonction 9 \X), étant, d'après ce qui précède, le produit delà dérivée 9' (x) par l'accroissement dx de la variable, il semble que l'emploi de la différentielle, identique au fond à celui de la dérivée, ne pourra présenter aucun avantage spécial, si petit qu'il soit.

La remarque suivante montrera pourtant qu'il en est autrement et que l'emploi des différentielles peut être plus commode que celui des dérivées.

De la relation

on déduit

( V ; <fy= *' '■ x] dx.

dx est arbitraire, dy Test donc également; le rapport '-j- est seul déterminé et égal

à la dérivée 9' (x), on peut donc dire que :

y étant une fonction de x, lune des différentielles dy et dx est arbitraire, et son rapport à la seconde est égal à celui des accroissements infiniment petits que peuvent prendre sinmltanément x et y.

Or cette définition, évidemment équivalente à celle que nous avions adoptée d'à-