LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES-DÉRIYÉES
bord, a l'avantage très-réel que les deux quantités» x et y, y figurent absolument de la même manière. Donnons sur ce point quelques développements.
Si y est une fonction de x, x est, par cela même, une fonction de y,€t rien n'oblige à prendre l'une de ces variables plutôt que l'autre, ou que toute fonction de Tune et de l'autre pour variable principale. Or l'emploi des dérivées exige absolument que Ton fasse un pareil choix, parce que la dérivée n'a de sens déterminé que lorsqu'on indique quelle est la variable dont on prend la dérivée et la variable principale par rapporta laquelle on la prend. Si l'on considère au contraire la différentielle de y définie par la relation
;A) dy = f'(x)dx,
cette équation nous fait connaître le rapport des différentielles dy et dx, c'està-dire celui des accroissements infiniment petits que l'on peut simultanément attribuer à x et hy; l'une de ces différentielles est arbitraire, mais rien n'indique que ce soit dx plutôt que dy, la relation ( A ) pouvant aussi bien s'écrire
dx = — dy\
et donnant, sous cette forme, la différentielle de la variable x considérée comme fonction de la variable y et correspondant à une valeur arbitraire de dy.
Il y a plus : la différentielle d'une fonction reste la même, quelle que soit la variable par rapport à laquelle cette fonction soit exprimée. Soit en effet
une fonction de u dans laquelle la lettre u désigne elle-même une fonction de x,
La différentielle dey, en considérant y comme fonction de x9 est le produit de dx par la dérivée de y (36), <J/(iz)ç' (x), on a donc
dy = +' ( u ) y' ( x ) dx.
Or la différentielle de y, considérée comme fonction de u, est
dy—ty [u) du y
ce qui est précisément la même chose, pourvu que, dans cette dernière équation, on remplace la différentielle du par la valeur
du=y [x) dx,
qui résulte de la définition même, lorsque u est considéré comme fonction de x.
On voit dans ce cas, comme dans le précédent, que x, y, u, désignant trois variables susceptibles de s'exprimer au moyen de Tune d'entre elles, les relations
du = ?' (jf) dx, dy—y[u)du,
qui lient les différentielles dx, dy, du, laissent Tune de ces différentielles arbitraire, et font connaître seulement les rapports des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément x, y, et u, rien d'ailleurs n'imposant l'obligation de choisir Tune d'elles pour variable principale de préférence à une autre.
49. La même remarque s'étend à un nombre quelconque de variables a\ yy z, u, v, w, pourvu qu'elles soient tellement liées, qu'on puisse les considérer comme des fonctions de l'une quelconque d'entre elles. Si l'on calcule dy, dz, du, dv9 d*\ en considérant x comme variable principale, on obtiendra des résultats de la forme
dy=yJ dx, dz = z'dx, du = uf du, dv = v' dx, dw = rf dx,
ou, ce qui revient au même,
dy dz __ du dv dw __ dx
et l'on pourra, sans nouveau calcul, adopter uue nouvelle variable principale, u par exemple, les rapports des différentielles dy, dz, du, a\, dw, dx, resteront les mêmes, il suffira de regarder du, et non plus dx, comme recevant une valeur arbitraire.
Pour calculer les dérivées des diverses variables prises par rapport k la variable principale u, il suffît de diviser par du les différentielles de ces mêmes variables. Les dérivées sont par conséquent
dy __ yJ
dz *'
dv v'
dw cr'
dx
du u'
du u'
du u' '
du "~ u' '
ces résultats sont parfaitement d'accord avec ceux que l'on déduirait de la théorie des fonctions de fonctions.
Dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables.
50. Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables indépendantes les unes des autres, on peut en prendre la dérivée par rapport a Tune quelconque de ces variables, en considérant dans cette opération toutes les autres comme des constantes. Une dérivée prise de cette manière se nomme une dérivée partielle.
