LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

ce qui prouve que la surface lieu des points dont les coordonnées sont x%9y2f z,, est normale au rayon réfracté. Pour obtenir cette surface, il faut, d'après l'équation l'=rl, porter sur chaque rayon réfracté, à partir de la surface de séparation, une longueur égale au produit de l'indice de réfraction, par celle que Ton doit porter sur le rayon incident correspondant pour obtenir un point de la surface normale aux rayons incidents; il est clair, d'ailleurs, que la longueur /' peut de même que / êtrr augmentée ou diminuée d'une constante, et que Ton obtiendra ainsi des surfaces parallèles.

660. D'après le théorème précédent, des rayons lumineux homogènes émanés d'un même point, et normaux par conséquent à des sphères concentriques, pourront traverser différents milieux séparés les uns des autres par des surfaces quelconques, ils seront toujours, après chaque réfraction, normaux à une même surface. C'est ici le lieu d'indiquer l'expérience fort simple qui peut, ainsi que nous l'avons dit (658), servir de vérification au théorème de Sturm, démontré dans ce paragraphe.

11 suffit défaire passer dans une chambre noire, a travers un très-petit trou percé dans un écran, un faisceau de lumière homogène qui tombe sur un sphéroïde dv verre ou sur une petite fiole contenant un liquide et offrant une surface courbe irrégulière, dont on recouvre la partie postérieure avec un papier percé d'un petit trou d'une forme arbitraire. Les rayons qui sortent par cette ouverture, après être entrés par celle de l'écran, peuvent être considérés, à cause de la petitesse de celle-ci, comme émanant d'un simple point; en recevant le faisceau émergent sur un papier blanc, qu'on éloignera graduellement, on reconnaîtra la forme des différentes sections, et^parliculièrement deux petits traits lumineux plus ou moins distants l'un de l'autre, et dont les directions sont perpendiculaires entre elles.

661 . Lorsque les droites d'un faisceau sont tangentes k une même surface, la condition nécessaire pour qu'elles soient en même temps normales à une autre surface, prend une forme très-élégante; il faut et il suffit qu'elles soient tangentes à une série de lignes géodésiques tracées sur la surface, ou, ce qui revient au même (631;, à des lignes dont le plan osculateur soit normal en chaque point à la surface sur laquelle elles sont situées.

Remarquons d'abord que si les droites d'un faisceau sont tangentes h une même, surface, et qu'il en passe une par chaque point, il existe nécessairement sur la surface une série de courbes auxquelles les droites considérées sont tangentes. A chaque point delà surface correspond en effet, par hypothèse, une droite du faisceau située dans le plan tangent; or il est clair que le mouvement d'un point serait déterminé s'il était assujetti à se mouvoir sur la surface en partant d'un point donné et se dirigeant toujours, dans chacune de ses positions, tangentiellement à la droite» qui y correspond. La courbe ainsi parcourue a pour tangente en chaque point une

des droites du faisceau, et comme le point initial est arbitraire, il passe une telle courbe, ainsi que nous l'avons annoncé, par chaque point de la surface donnée. Cela posé, soit

l'équation de cette surface; nommons X, Y, Z les cosinus des angles formés avec les axes par la droite du faisceau qui touche cette surface au point dont les coordonnées sont x9 y, z: la condition nécessaire pour qu'il existe une surface normale à toutes les droites du faisceau est (648) que, en ayant égard à la relation (i), la somme

(2) Xdx-\-Ydy + Zdz

soit la différentielle d'une certaine fonction de x et dey. Or on a

(3) dz=pdx ~\-qdy,

et de plus, comme la direction définie par les cosinus X, Y, Z est dans le plan tangent,

(4) Z=pX+qY;

l'expression (a) devient par conséquent

(5) (X-h/>Z)rf*-h(Y-h?Z)d/.

La condition, pour qu'elle soit une différentielle et qu'il existe par conséquent une surface normale aux droites du faisceau, est

. d(X+pZ)^d(Y + qZ)

dy dx

c'est-à-dire, à cause de l'équation,

dp dq

dy dx

dX dZ dY rfZ (7) -dï+P~dï = -dx- + (ldx'

les dérivées étant prises, bien entendu, après que X, Y, Z ont été exprimés en fonction des seules variables x et y.

X^Y' + Z^i, par conséquent

dX dY dZ

X7x--hXdx--hZdx = °>

dX dY dZ