LIVRE PREMIER. - ÉTUDE PES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES
La recherche d'une dérivée partielle se fait absolument comme celle de la dérivée
d'une fonction d'une seule variable et n'exige aucune explication nouvelle.
Si 9 (oc, y, z).est une fonction de trois variables x, y, z, les dérivées partielles par
rapport à ces trois variables s'écrivent de la manière suivante :
dff dy df dx* dy} dz
Le sens qu'il faut attacher à ces expressions résulte de ce qui précède. -X est la limite du rapport de l'accroissement infiniment petit de 9 à l'accroissement correspondant de x, lorsque y et z restent constants ; de même, dans le calcul de -j-, xetz
sont tous deux constants, x et y le sont dans le calcul de-r?-
51. La fonction considérée 9 restant la même, peut être exprimée d'une infinité de manières différentes, car on peut substituer aux variables x, y, z, trois variables nouvelles qui en soient des fonctions déterminées. En posant, par exemple,
« = +1 (x9y,z), vz=:$7(x,yfz), tv=z^(xfy,z),
la fonction 9 pourra être exprimée au moyen de u, v, w, et il y aura lieu de considérer les dérivées partielles -j^> -r» -A* Nous verrons plus loin le moven de les cal- 1 du dv dw r
culer sans qu'il soit nécessaire de former explicitement l'expression nouvelle de la fonction 9. Mais il est bon de remarquer dès à présent que, pour déterminer la
valeur de -p, il ne suffit pas de connaître la fonction 9 et la variable u. Cette dérivée
dépend aussi du choix des deux autres variables v et w que l'on adjoint à u pour exprimer 9, et qui doivent rester constantes dans la différentiation. Considérons, par exemple, la fonction
on a
Posons
9 prend la forme
cp = x1 ( x -h y H- z) yz ;
-^-z=.ix [x-hy-h z)yz + x*yz.
x+y+ z = u, yz=:v; l = x*uvf
fii PREMIERE PARTIE. - CALCUL IMFFÉRENTIEL.
et sous cette forme on a
-r- = o.jffii* = 2 i ' • x -f- > ■ -r c >*w.
On voit donc que la même fonction 9 peut avoir, par rapport à la même variable x. «les dérivées partielles très-différentes, et que ces dérivées dépendent du choix des variables que Ton adjoint à x pour exprimer ç et qui restent constantes dans Topération.
52. L'exemple précédent ne peut laisser aucun doute sur l'exactitude de la proposition énoncée. Nous croyons utile cependant d'ajouter quelques explications pour faire mieux sentir la raison de la différence que nous signalons.
Considérons, pour plus de clarté, une fonction de deux variables seulement
cette fonction z peut s'exprimer également au moyen de x et d'une nouvelle variable ayaut avec les deux premières une relation connue. Si Ton choisit une variable // définie par l'équation
on peut, entre les équations [i, et ■' 2 >, éliminer v et en déduire une relation de la forme
La dérivée p prise dans l'équation (ij est la limite du rapport de l'accroissement de z à celui de x, lorsque y reste constant.
La dérivée -£- prise dans l'équation (3) est la limite du rapport de l'accroissement de z à celui de .r, lorsque u reste constant.
Or il est clair que, y restant constant, // est variable, et, u restant constant, y est
variable; les deux valeurs de ^-déduites des équations fi) et (3) n'ont donc pas la
même définition, et il est tout simple qu'elles ne soient pas égales.
Si Ton considère l'équation (1) comme représentant une surlace, ^ est la limite
du rapport de l'accroissement de z à celui de x lorsqu'on se déplace sur la surface sans changer y, c'est-a-dire sur une section parallèle au plan des ZX. En déduisant
au contraire -r- de l'équation (3), on calcule le rapport de l'accroissement de z à
celui de x, lorsqu'on se déplace sur la surface en laissant à u une valeur constante.
