LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. \ï

c'est-à-dire en suivant une certaine courbe qui dépend de la nature de cette fonction u. Or le rapport de l'accroissement de z à celui de x n'est pas le même pour toutes les courbes que Ton peut tracer sur une même surface à partir d'un point donné. Cela est si vrai, qu'en choisissant la courbe qui résulte de l'intersection de la surface avec le plan parallèle à celui de XY, pour laquelle z est constant, ce rapport peut toujours être rendu égal à zéro. Lors donc que z contient deux variables et que rien n'indique la variable adjointe à x et supposée constante dans l'opération , -f- n'est pas déterminé.

Différentielle d'une Jonction de plusieurs variables.

53. L'accroissement infiniment petit d'une fonction de plusieurs variables peut s'exprimer comme celui des fonctions d'une seule variable, au moyen d'une expression fort simple qui n'en diffère que d'une portion infiniment petite de sa propre valeur. Considérons d'abord une fonction © (x9y) de deux variables indépendantes l'une de l'autre. Donnons à chacune de ces variables des accroissements infiniment petits du premier ordre h et ky l'accroissement de <p sera

<p(jr + A, %>-4- k) — ?(*,„>•) =f (* + /*. r-h k) — y(x ■+- /i,r)4*y(^+ A, rj — y [x, y )•

Or la différence

peut être considérée comme l'accroissement de la fonction <p(&-\-h9 v) dans laquelle la variable y a reçu l'accroissement k. On aura donc (46), en négligeant les infiniment petits du second ordre,

? [x -h A, x -+-*) — *(* + /«, x) = *Vr (•*■ "*■ A» X)' De même, en négligeant les infiniment petits du second ordre, on a

? ( x -h A, x) — ? (*» r) = h fs (*» r)«

qp'x et <fy. désignant les dérivées de <p prises par rapport à x et par rapport k v> D'après cela on a, en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre,

Mais 9^ (.r-i- A, y) diffère infiniment peu de ç'r (*r, j), le produit par k de la différence de ces expressions peut donc être négligé, et l'on peut écrire, en négligeant toujours les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier,

? [x + /*, x+ *•) — ? (*, r) = *?1 (*> r) + *Vr (*. r)-

54. L'expression précédente est fort remarquable : elle montre que pour les valeurs des variables infiniment peu différentes de valeurs données x et y, l'accroissement de la fonction est une fonction du premier degré des accroissements h et i respectivement attribués à x et à v. On suppose toujours, bien entendu, que les infiniment petits du second ordre soient négligés.

Si Ton représente par dx et par dy les accroissements arbitraires h et 4\ et que l'on remplace en même temps les dérivées ç/x, <p\, par les notations convenues

-p et yf/ l'expression de l'accroissement de la fonction ç devient

f/« , df .

i1 djL " + ir rf> • dx dy

Cette expression se nomme la différentielle totale de ç, et (m la représente par la notation do, en sorte que Ton a, par définition,

do = «^ dx H- -r- dy.

dx dy *

Cette différentielle d<p est, en négligeant les infinimeut petits du second ordre, l'accroissement de la fonction ç correspondant aux accroissements infiniment petits dx et dy attribués à .r et à v.

A peine est-il nécessaire de faire observer que, dans le second membre de l'équation précédente, les numérateurs des fractions ^> (-X> ont des significations différentes, et que ni l'un ni l'autre ne doivent être confondus avec la différentielle totale dy qui s'écrit de même.

Le numérateur de -7^ est la différentielle de ç par rapport à .r, considérée comme seule variable.

Le numérateur de ^ est la différentielle de 9 par rapport à v, considérée comme seule variable.

Enfin le premier membre est la différentielle totale qui est la somme des deux autres.

Il y a certainement un inconvénient à écrire de la même manière des quantités essentiellement différentes, mais le lecteur bien prévenu n'y verra pas de difficulté sérieuse.

55. Des raisonnements tout semblables montrent que r accroissement infiniment petit d'une fonction de trois variables <p(x, y, s), lorsque x, y, z reçoivent des