Ellipsoïde. — Soit

a? jr* z'

Téquation d'un ellipsoïde: cette surface fait partie (128) d'un triple système de surfaces orthogonales formé par toutes les surfaces du second degré, dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers. Le théorème de M. Dupin fait par conséquent connaître les lignes de courbure qui résultent de l'intersection de l'ellipsoïde par les surfaces des deux autres systèmes, c'est-à-dire par les hyperboloides à deux nappes dont les équations sont

v- et p1 désignant deux paramètres arbitraires, le premier compris entre b2 el c1, et le second moindre que b2.

Pour obtenir la projection des lignes de courbure sur le plan des XZ, c'est;à-dire sur celui des plans principaux de la surface qui contient le plus grand axe et le plus petit, il faut éliminer y entre les équations (1) et (2); on trouve ainsi

Pour obtenir les lignes de courbure de l'autre système, il suffit de changer v en p : leur équation est par conséquent

Les équations (4) et (5) représentent des ellipses. Elles ne différent que par le changement des paramètres arbitraires v et p l'un dans l'autre. Mais on ne doit pas oublier que v2 est compris entre b2 et c3, tandis que p2 est moindre que b2. Si Ton