LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

attribue k ces paramètres leur valeur limite, qui est 6* , les équations (4) et (5) deviennent

et représentent toutes deux l'ellipse principale.

On peut aisément s'assurer que les ellipses définies par les équations (4) et (5) sont tangentes aux quatre droiles représentées par l'équation .

Cette condition commune aux deux systèmes les définit complètement. L'équa-» tion (6) représente la courbe limite qui sépare les projections des lignes du premier système de celles du second.

690. Surfaces développables. — Les génératrices rectilignes d'une surface développable sont les lignes de courbure de l'un des systèmes; les normales menées par les points d'une même génératrice forment en effet un plan qui est la plus simple des surfaces développables. Les lignes de courbure de l'autre système coupent les génératrices à angle droit et sont par là déterminées; si l'on développait la surface, ces lignes deviendraient les développantes de la transformée de l'arête de rebroussement. En chaque point d'une surface développable un des rayons de courbure est infini. Les normales à la surface, menées par deux points infiniment voisins'd'une génératrice, sont en effet parallèles, et le centre de courbure, qu'elles doivent déterminer par leur intersection, est par conséquent situé a l'infini. On voit d'ailleurs que la section normale tangente a la ligne de courbure est dans ce cas la génératrice ellemême, et que son rayon de courbure est infini.

Le second rayon de courbure varie d'une génératrice a l'autre avec la forme de la surface; elle varie aussi d'un point à l'autre d'une même génératrice. Nous allons en former l'expression générale.

Soient OA, 0'A' deux génératrices voisines d'une surface développable, dont l'arête de rebroussement est 00'; soit MM' un arc infiniment petit de la ligne de courbure perpendiculaire a OA et O'A' : les normales à la surface aux points M et M'

se rencontrent au centre de courbure C, et MC est le rayon de courbure cherché. On a, en nommant s l'angle des deux normales,