LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

accroissements infiniment petits du premier ordre, h, k9 1, peut être représenté, en négligeant les infiniment petits du second ordre, par

et en posant h = dx, k = dy, l=dz, cette somme se nomme la différentielle totale de 9 ; on a donc par définition

(,) df = ^dx+*ldr+^dz.

Lorsque dx, dy, dz sont infiniment petits du premier ordre, d$ représente, en négligeant les infiniment petits du second ordre, Y accroissement de ç correspondant aux accroissements infiniment petits dx, dy, dz des trois variables.

On doit faire ici la même remarque que dans le cas des fonctions de deux variables, l'expression dy a dans l'équation ( i ) quatre significations distinctes.

56. Le théorème et la définition précédente s'étendent sans difficulté au cas d'un nombre quelconque de variables. L'accroissement infiniment petit d'une fonction tf (x, y, z, u, v) correspondant aux accroissements infiniment petits A, k, /, m, n des variables, est égal, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à

do , rf© . do . do do

dx dy dz du dv

et si, dans cette somme, on représente les accroissements h, k, l, m, n par dx, dy, dz, du, dv, on obtiendra l'expression

7Î(/j+-/rfv+^& + x^+ -r dv, dx dy J dz du dv

que Ton nomme différentielle totale de <p et que l'on représente par dtp : cette différentielle peut remplacer l'accroissement de la fonction lorsque dx, dy, dz, du, dv sont infiniment petits.

57. D'après ce qui précède, u désignant une fonction de plusieurs variables indépendantes, que nous supposerons, pour fixer les idées, au nombre de trois, si l'on attribue à -ces variables trois accroissements infiniment petits dx, dy, dz, l'accroissement de u sera donné , en négligeant les infiniment petits du second ordre, par la formule

( ïT ) ' ( 7"- ) * ( 7F ) ^tant tr0ls ^onc^ons de x* y et 5> indépendantes de dx, dy et

dz. On peut énoncer ce résultat en disant : Si Ton donne à x, y, z et uf quatre accroissements infiniment petits simultanés, il existe, en négligeant les infiniment petits du second ordre, une équation du premier degré entre ces quatre accroissements, et trois quelconques d'entre eux restent arbitraires.

Cette forme de l'énoncé est importante, parce que la fonction u n'y est plus distinguée des variables dont elle dépend; .r, y, z et m sont quatre variables liées par une équation; chacune d'elles peut être considérée comme fonction des trois autres.

L'équation du premier degré qui lie dx9 d\\ dz et du, étant successivement résolue par rapport a chacune de ces différentielles, fera connaître les dérivées de U variable correspondante, par rapport aux trois autres considérées comme indépendantes. Si Ton a, par exemple,

(i) du = Pdx 4- Q dy + Hdz,

en regardant u comme fonction de x, y et z9 on aura

n du o - du M - l,U v = -7— 1 \i = -7-1 « = -}-<

dx dy <fz

Or l'équation ( i ) donne

dy=çdu—^dx--dz.

Par suite .

du du

dy __ i dy <& dy dz

du du dx du dz """ du

dj- dj' 7T

La première de ces équations est évidente, car les deux quotients ^ et ^

représentent tous deux le rapport des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément (48) y et u, lorsque z et ,r restent constants.

Dérivées des fonctions composées.

58. Une fonction composée est une fonction dont la définition implique des opérations à exécuter sur d'autres fonctions qu'il faut préalablement former. Soient u et t> deux fonctions de la variable r. Toute fonction de la forme

est une fonction composée de x.