LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. M

Nous allons nous proposer.de chercher la dérivée d'une fonction composée. In tel problème serait plus naturellement placé après les règles relatives à la détermination des dérivées , mais nous avons dû en différer la solution à cause des simplifications apportées à cette recherche par les théorèmes démontrés dans les paragraphes précédents.

Si Ton donne à a? un accroissement infiniment petit Aar, il en résultera, pour u et p, deux accroissements au et Ap, et, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'accroissement ày dey sera (54)

d'où Ton conclut

àjr dy Au dy àv

Aj TTû bx " rfvAx'

lorsque A r tend vers zéro, les limites des deux membres sont rigoureusement égales puisque dans l'équation (i) on n'a négligé que les infiniment petits du second ordre; on a donc

dy __ dy du dy dv

dx dudx dv dx

On verrait de même que u, v, w désignant trois fonctions de x, la dérivée de la fonction composée y = 9 {u, v, w) est exprimée par la formule

dy __ dy du dy dv dy dw dx du dx dv dx dw dx

Généralement , la dérivée d'une fonction composée d'un nombre quelconque de fonctions

est exprimée par la. formule

dy dy du dy dv dy dw dy <fc dy^ di^

dx du dx dv dx dw dx dz dx dt dx

ce que l'on peut énoncer en disant : la dérivée d'une fonction composée est la somme des résultats obtenus en prenant les dérivées de la fonction proposée dans laquelle on considère successivement chacune des fonctions dont elle dépend comme variant seule avec x$ toutes les autres étant traitées comme des constantes et la dérivée se réduisant alors à celle d'une fonction de fonction.

59. Le théorème précédent peut s'appliquer à. la détermination déjà obtenue de la dérivée d'un produit on d'une expression de la forme uv.

Considérous d'abord le produit

u, v, w désignant des fonctions de la variable x. Ce produit peut être considéré comme une fonction composée de w, de v et de w, et Ton a, en appliquant le théorème précédent,

dr du dv dw

dx dx dx dx

ce qui s'accorde avec le résultat obtenu (39). De même en posant

u et v désignant des fonctions de x, on peut considérer y comme une fonction composée et l'on a

dr dr du dr dv m du . dv

-jL = -f-— + -£--t - = vu—x-r-*-tf\u — , dx du dx dv dx dx dx

ce qui s'accorde avec le résultat déjà obtenu (41).

Dérivées des Jonctions implicites.

60. On désigne sous le nom de fonction implicite toute fonction bien définie dont l'expression analytique n'est pas donnée.

Parmi les fonctions implicites, nous considérerons seulement ici celles qui sont définies par des équations non résolues.

Considérons d'abord le cas le plus simple, celui d'une fonction y définie par une équation entre cette fonction et la variable x,

Pour déduire d'une telle équation la dérivée, ou, ce qui revient au même, la différentielle de y, remarquons qu'en supposant y remplacé par sa valeur en a\ la fonction y sera identiquement nulle ; sa différentielle sera donc égale à zéro, et Ton aura

on en déduit,

dy dy __ dx dx~~ dy

et le problème est résolu.