LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 7M

(5) kdudu-t-B{duâv-t-dvou) -hCdvdv = o.

D'ailleurs la variation de k étant nulle lorsque Ton passe du point A au point B, on a

/c dk ^ dk y

(6; -7- ou -h -3-3^ = 0,

' du dv

et l'élimination de (fit et de dV entre les équations (5) et (6) donne

/ kdk D dk\ , , / dk r dk\ .

Posons

dk j dk , „ -r- du-\- -r dv = dk.

du do

Élevons cette équation au carré et ajoutons-la membre à membre avec la première des équations (1) préalablement multipliée par un facteur A, nous aurons

(8) ^du + ^dvy^M\diû^^Bdudv^Cd^) = dk'^lds\

Déterminons A, qui est arbitraire, par la condition que le premier membre soit le carré d'un binôme de la forme Vdu-h Qdv : on voit aisément qu'il faut prendre

l'équation (8) devient alors

(9) ^ ^g-AC ^-J- = * + W

et par conséquent, à cause de l'équation (7),

c'est-à-dire

L fdky dk dk t,[dk\>

(.0) ^-v--\/AU)-2B^^+^U)

y ' <ts v V AC— B»

On trouverait par un calcul tout semblable relatif à l'autre surface :

do -**- y/ ^ ~ ^^' w ,

D'après ce qui a été dit, -r- et -p doivent être égaux ; en égalant donc les seconds

membres des égalités (10) et (i i), on formera une équation qui, jointe à l'équation (*), permettra de déterminer u! et v' en fonction de u et de v.

731. Le calcul précédent peut se faire pour deux surfaces quelconques, mais il n'en résulte pas qu'elles soient applicables l'une sur l'autre; les équations trouvées entre u et v, u1 et v\ établissent en effet entre les points des deux surfaces une loi de correspondance telle, que les lignes déterminées par une même valeur du produit RR' se correspondent, et sur ces lignes les points correspondants sont ceux pour lesquels la distance à la ligne voisine est la même; or, il faut évidemment en outre, pour que les deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre, que les arcs correspondants des deux lignes soient égaux entre eux. On pourrait exprimer cette condition en égalant les différentielles des deux arcs, mais nous nous bornerons à avoir fait remarquer qu'une nouvelle équation au moins est nécessaire; on pourra toujours vérifier dans chaque cas si les relations trouvées entre m, v> u\ tf rendent les arcs correspondants égaux en donnant identiquement

\dir-h zBdudv -hCrfc2 = A'cto"+ iWdu'dv' -h C'dv\

732. Quel que soit le système de coordonnées adopté pour représenter les points d'une surface, la distance de deux points infiniment voisins ayant pour coordonnées u, c, u -+- du, v -+- dv, est de la forme

A du* -+- 2 B dudv -h C dv\

A, B, C étant des fonctions de u et de v dont la forme varie avec la surface et le choix des coordonnées; la condition nécessaire et suffisante pour que deux surfaces soient applicables Tune sur l'autre est que, par un choix convenable de coordonnées, on puisse rendre identiques les valeurs de ds2, de telle sorte que les variables u et v qui définissent les points de la première surface déterminent aussi ceux de la seconde.

Cette égalité des éléments, une fois établie, est évidemment indépendante du choix des coordonnées, sous la condition, bien entendu, que les points des deux surfaces restent associés de la même manière.

733. Nous indiquerons ici quelques résultats facilement déduits de ce qui précède et relatifs à la forme de l'expression de la distance de deux points infiniment voisins dans divers cas particuliers remarquables.

Lorsque les courbes qui correspondent aux valeurs constantes des coordonnées u et v se coupent à angle droit sur la surface, l'expression de ds- est de la forme

ds7= Arfw'-f Kdv\