LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

La démonstration, toute semblable à celle qui a été donnée (124), résulte de ce que les courbes qui correspondent aux valeurs u, i/-+- du, t\ r-h dv des coordonnées, forment dans ce cas un rectangle dans lequel le carré de la diagonale doit être égal à la somme des carrés des côtés.

734. Lorsque les lignes qui correspondent à une valeur constante de la variable sont géodésiques, les lignes de l'autre système les coupant à angle droit, le coefficient 8 devient indépendant de u, et Ton a

On sait en effet que les lignes qui correspondent aux valeurs constantes de u étant géodésiques, et celles qui correspondent aux valeurs constantes de r les coupant à angle droit, deux lignes quelconques du second système interceptent des arcs égaux sur toutes celles du premier système; or, en supposant

(2) (te^Arfw'-hBrfi'',

si Ton considère les deux lignes correspondant aux valeurs v et *>-h dv du paramètre p9 leur dislance, comptée sur une des lignes géodésiques correspondant à une valeur quelconque de u, s'obtiendra en faisant du = o9 dans la formule (2) qui

devient

ds' = Bdv*9

et comme cette distance doit être indépendante de u, B est, comme on Ta annoncé, fonction de la seule variable v; on peut changer de variables sans altérer le système de lignes qui répondent aux valeurs constantes des coordonnées, et poser

Bdv = dï,

</ étant une fonction de la seule variable v; on a alors

</«' = <fo" + A</us,

la variable (' représentant évidemment la longueur comptée sur la ligne géodésique à partir de Tune de ces trajectoires orthogonales arbitrairement choisie : le coefficient A est une fonction de u et de sf dont la forme varie avec la nature de la surface.

735. La réciproque du résultat que nous venons d'obtenir est exacte; lorsque le carré ds1 de la distance de deux points voisins a une expression de la forme

(1) ds' = Arfa* -H (?(v)dv\

les lignes qui correspondent aux valeurs constantes de u sont géodésiques. Il résulte

en effet de la formule (i) que la distance des deux courbes correspondant aux valeurs v et v -+- dv de la variable est indépendante de u et que par conséquent les courbes correspondantes aux valeurs constantes de u sont telles, que leurs trajectoires orthogonales interceptent sur elles des arcs égaux ; on en conclut (719) qu'elles sont des lignes géodésiques.

736. Nous signalerons particulièrement le cas où la surface considérée étant de révolution, les coordonnées adoptées pour représenter un point sont, d'une part, l'angle w formé par le méridien correspondant avec un méridien fixe, et, d'autre part, la longueur g de l'arc de méridien compris entre le point considéré et un parallèle fixe. On a vu (130) que le carré de la distance ds2 a, dans ce cas, une expression de la forme

(i) ds'=d(i H-<p(<7)dw'.

Réciproquement, si l'expression du carré ds* est de la forme

ds2 = dv1 -h ç [v)du*,

la surface est applicable sur une surface de révolution convenablement choisie. La détermination du méridien auquel convient une forme donnée de la fonction <p est un problème de calcul intégral sur lequel nous ne donnerons ici aucun développement.

737. Nous citerons cependant deux exemples remarquables de surfaces applicables sur des surfaces de révolution.

L'hélicoïde gauche à plan directeur est applicable sur la surface de révolution dont le méridien est une chaînette.

Prenons pour axe des z Taxe du cylindre et pour axe des x et des y deux diamètres rectangulaires de la base : l'hélicoïde gauche à plan directeur sera représenté par les équations

(i ) x = rcos&),

j=rsin w,

r et *> étant deux variables qu'il serait facile d'éliminer pour former l'équation de la surface, mais cette équation ne nous serait pas utile. Nous regarderons g> etr comme les deux variables qui servent à définir les points de l'hélicoïde ; à une valeur constante de r correspond une hélice, et à une valeur constante de w, une génératrice rectiligne qui coupe toutes les hélices à angle droit.

En désignant comme d'habitude par ds la distance de deux points infiniment