JJVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
voisins, on a
ds* = dx> -h dy* -h dz\
et l'on en conclut, à cause des équations (i),
(2) rf$2=(/w2-f- r2)do)7-hdr2.
On reconnaît, dans cette expression, la forme qui convient à une surface de révolution. On a vu en effet (736) que, c désignant Tare de méridien et *> l'angle qu'il forme avec un méridien fixe, on a, sur une surface de révolution,
(3) </53 = £/<72-i-9(tf)</w\
En posant c = t\ les deux formules (2) et (3) deviennent identiques si l'on a
Or <j> (c) est le carré du rayon du parallèle, c'est-à-dire de l'abscisse du point qui correspond à l'arc c: si nous désignons cette abscisse par x, il suffit de trouver une courbe telle que
• (4) x='Jm*+o*f
c'est-à-dire
ç = y x1 — m7; on en déduit
, x dx
( 5 ) der =
Or, en nommant y la seconde coordonnée rectangulaire, on a
d<T2 = dx2-\-dy*, et l'équation (5) devient
ou
, . m7dx7 y x2 — m'
mdx
dy =
y = ml(x+ y/x' — m^-hC
Si l'on prend la constante C, qui est arbitraire, égale à — bn, on déduit de cette équation
et, par suite,
x — sjx* — m2 = me m ,
équation d'une chaînette qui, par sa révolution autour de Taxe des y, engendrera la surface applicable sur l'hélicoïde gauche a plan directeur.
738. M. Bour a généralisé le théorème précédent en démontrant que toute surface hélicoïdale est applicable sur une surface de révolution.
On nomme surface hélicoïdale la surface engendrée par un profil de forme quelconque situé dans un plan normal à un cylindre de révolution mené par une génératrice et se mouvant sans changer de forme, de telle sorte que tous les points décrivent simultanément des hélices de même pas situées sur des cylindres de même axe.
En prenant pour axe des z Taxe du cylindre et pour axes des x et des y deux diamètres rectangulaires de la base, on peut évidemment représenter une surface hélicoïdale par les équations
x = p cos w , 7 = psinw,
<s = mû>-h<p(p),
la forme de la fonction 9 (p) déterminant la courbe qui sert de profil. Les variables p et co définissent ici sur la surface deux systèmes de courbes : les unes, qui correspondant aux valeurs constantes de p, sont des hélices ; les autres, correspondant aux valeurs constantes de w, sont les courbes, toutes superposables, suivant lesquelles la surface est coupée par les plans méridiens du cylindre. Ces deux systèmes ne sont pas orthogonaux, et pour cette raison noufs introduirons une nouvelle variable u, paramètre des courbes qui coupent les hélices à angle droit. En considérant w comme une fonction de p et de w, on aura
1 1 . du* . . rfw ,
dx = cos w dp — p sm eu -=— dp — p sin w -7- au ,
. . , dm , do) .
dy = sin wap-i-pcosGt)-7--ap-|-pcos&> ~r~ "M>
, , , . , day . d(ù f
dz =9'{p)dp+m^du-hmj^dp;
on en déduit l'expression du carré ds2 de la distance de deux points infiniment
