LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

voisins de la surface,

*=^[,+,(^)'+?-,P,.+m.(^)V»m^,|]+<i,..[P.(È)Vm.(è)']

» ê Y mdo)d(ù do* ,, . . du\ d<*\~\

+ .rfpifa^3?a!r + *asr9»(p) + »»^ ^J-

Pour que les courbes qui correspondent aux valeurs constantes de u coupent orthogonalement les hélices qui correspondent aux valeurs constantes de o, il faut que le terme en dudp disparaisse. Posons donc

dtô f , dr»y ... o dù)l

^ ne peut pas être nul, car il est impossible que w dépende de la seule variable p; il faut donc égaler à zéro le second facteur; on en déduira une valeur de « en fonction dep, et comme une figure que par sa dérivée -r-, on peut lui ajouter une fonction arbitraire de u. Prenons cette fonction égale à kuf k étant constant; -p sera alors égal à k, et l'expression de ds2 prendra la forme

ds' = G dp7 -h Wm2 ( p1 -4- m2),

le coefficient G ne contenant que p : désignons-le par [<|>(p)]a, n<>us aurons

ds*=[ty[p)dp]*-hk>du3(p*-hm*).

Si Ton pose ^ {p)dp = dv> p sera une fonction de pet l'expression de ds2 prend la

forme

ds2 = dv*-hF(v)du>,

qui convient (130) à une surface de révolution.

Courbure des trajectoires orthogonales sur une surface quelconque.

739. Lorsque sur une surface quelconque on considère deux systèmes de lignes se coupant ortliogonalement et décomposant la surface en rectangles infiniment petits, il existe entre les courbures géodésiques des lignes des deux systèmes, ou, ce qui revient au même, entre les côtés infiniment petits des rectangles successifs, des relations analogues à celles qui ont déjà été trouvées (507) et (556) pour les systèmes plans ou sphériques.

Soient AA', BB' deux courbes infiniment voisines du premier système correspondant aux valeurs a2, oc2 + da2 du paramètre a29 qui figure dans leur équation générale, et CC\ DD' deux courbes infiniment voisines du second système correspondant aux valeurs a,, OLs-\-dv.K de leur paramètre, et formant avec les deux premières un rectangle infiniment petit PQHS; le côté PR, distance de deux points infiniment voisins qui correspondent à une même valeur de a2, est évidemment proportionnel à daî9 et le côté PQ à doc2; posons donc, en désignant par E et G deux fonctions de a, et de a2 que nous regardons comme connues,

m = d<zlsfË;

le carré de la distance de deux points infiniment voisins, tels que P et S, sera alors exprimé par

• ds^Edxl+Gdxl,

et il suffira de calculer cette distance pour connaître les fonctions E et G. Les courbures géodésiques des lignes PQ et PR peuvent se calculer au moyen du théorème démontré (719).

On a en effet

i RS — PQ p,"" PK.PQ '

i QS — PR £~~ PR.PQ '

remplaçons PR et PQ par leurs valeurs, et remarquons que RS — PQ, différentielle de PQ par rapport à a4, est donnée par la formule

d pQ^ j d (J fr\ j i d^

(i OL\ (i OL\ CL OL\

On verra de même que QS — PR, la différentielle de PR, est égale à

doLx da,

da, '