LIVRE TROISIÈME

- APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

on i

ii par conséquent

Pi

tfl^G1

ds/Ë

doci

740. Cherchons ce que deviennent, dans le cas d'un système quelconque de courbes orthogonales, les relations trouvées (558) pour un système de courbes spliériques.

Soit PQRS le rectangle infiniment petit formé par les courbes des deux systèmes correspondant aux valeurs «,, a, -hdai du premier paramètre, et a2» 0L2-hda2 du second. iMenons les sommets P, Q, R, S des lignes géodésiques tangentes aux côtés de ce rectangle: nous formerons un octogone QOPIRO'SI', dont la courbure totale

est mesurée (728) par l'excès de la somme de ses angles sur douze angles droits; or, en nommant s, , e{ 4- diK les angles de contingence des arcs PR, QS, et s2, ê2 -h di2 ceux des arcs PQ, RS, on a, en désignant chaque angle de l'octogone par la lettre placée à son sommet,

0' = z — c2 — </i2, r = 7: — £, — rfe, ,

et la courbure de l'octogone est par conséquent mesurée par

— dît — dt7.

Cette courburç est égale d'ailleurs (722) à la surface PQ.PR divisée par le produit des rayons de courbure, et Ton a par conséquent

j ^ PQ.PR

Mais on a, en nommant - et - les courbures géodésiques des deux côtés,

L — !i P- ~ PU '

p,-KS' I. <)6

et par conséquent l'équation (i) peut s'écrire

(S) d^d*+d^da- PQ-PR.

{6) -mr d*t+—fcr d*2— tût '

c'est-à-dire

irs «^ P. / > rfPQ . flI> ■ p> . , i dm. PQ.PR

atxx p, a a, a a, p2 aa^ H( K,

or on a

VR = d<ziifË, PQ = <fa,/G»

et par conséquent

rf.PR , rf\/ï -i — = aa, -^ — ,

rf.PQ , e/v'G

— j — = aaa — — > flXi a ai

c' est-a-dire, d'après les valeurs trouvées pour - et - >

Pi P»

'/PR ^ /û fi* l

da, p*

et l'équation (/j) devient, en supprimant le facteur rfa, rfa2,

(5) v/îï-^+^E^ + ^^+ivE^^-^

</a, pjv ' ^Y c/a, pjY Y"~~ R,R,

et en divisant par \E yli , et à cause de

PR = dst = dXl vMË.

VQ = dSl=doc, \/G,

Celte formule peut être transformée absolument comme la formule analogue trouvée (558); elle fournira, entre les côtés successifs des rectangles qui peuvent décomposer une surface quelconque, une relation toute semblable à celle qui a été

rfi

dl-

as.

dsx

Pï

RTr,