LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

trouvée (559) dans le cas de la sphère, et dans laquelle seulement le carré du rayon de la sphère sera remplacé par le produit des rayons de courbure.

741. On peut facilement déduire des formules précédentes l'expression de la courbure rr-rr- en fonction des coefficients E et G et de leurs dérivées : l'équation (3) peut s'écrire, en effet,

/. dy/G\ ( , dy/Ê\

<iXldz,y/m â \d**irïr) . d \Â^),

ou enfin, en supprimant le facteur dal da2,

— /i^\ /d)fË\

R.K, dxt\ ^ / da>\ y/o )m

Otte formule a une grande importance.

Si les lignes qui correspondent à une valeur constante de a, sont géodésiques, on a (734), en choisissant convenablement a,,

ds' = d^-hGdal; E est alors égal à l'unité, et la formule devient

FIN DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

TABLE ANALYTIQUE

Abbl. — Théorème relatif à la convergence

des séries 233

— Théorème relatif à la continuité des séries

ordonnées suivant les puissances d'une variable 265

— Démonstration de la formule

rt.rt — 2^ .., ..

Aire plane. — Différentielle d'une aire plane

en coordonnées rectilignes 1 14

— En coordonnées polaires 1 16

— Expression en coordonnées rectilignes de

la différentielle précédente 117

Arc de courbe. — Définition de la longueur d'un arc de courbe 18

— La différence entre un arc et sa corde est

un infiniment petit du troisième ordre. 19

N«*des§§

Arc de courbe. — Longueur d'un arc de

cycloïde 20

— Longueur d'un arc de développée 22

— Différentielle d'un arc de courbe 118

— Différentielle d'un arc de cycloïde 119

— Différentielle d'un arc de courbe en coor-

données polaires 120

— Différentielle d'un arc de courbe non

plane rapporté à des coordonnées polaires. 1 2 1

— Différentielle d'un arc de courbe dans un

système de coordonnées curvilignes 1 23

— Différence entre un arc infiniment petit

et sa corde 517 et 55i

— Différence des tangentes menées aux ex-

trémités d'un arc infiniment petit et terminées à leur point de rencontre 519

— Différence entre un arc et la somme des

tangentes à ses extrémités 55 1

Bernoulli (Nombres de).— Leur définition. 3o5

— Leur introduction dans le développement

de -7-— 3o5

— Expressions du n"mt nombre de Bernoulli

donnée par Herschel 345

— Valeur numérique des neuf premiers nom-

bres de Bernoulli 347

— Ils s'introduisent dans l'expression de la

somme des puissances semblables des nombres entiers 348

— Étude de la somme

considérée comme fonction continue de/i 349 et 353

— Expression du nombre B„ sous la forme

Bernoulli (Jacques).— Sa démonstration du développement -— — — , lorsque n est

entier 225

— Exemple donné par lui du danger des

séries divergentes 228

— Série de Bernoulli 309

— Application à la détermination numérique

de v^ et de ^3 3|°

Binet. — Application élégante de la théorie

des fonctions génératrices 342

Binôme (Puissance d'un).— Étude de (i-M)m

lorsque z est imaginaire ^76

— Développement de (i+*)"\ lorsque z est

imaginaire 38*

— Séries remarquables qui s'en déduisent. . 384 Boolb. — Expression remarquable de la différence y(x+A) — y (x) .334

TABLE ANALYTIQUE

N°«dcs§§ Bonnet (0.). — Théorème relatif à la dérivée

d'une fonction infiniment petite 45

— Réciproque de ce théorème 549

— Applications à l'étude des lignes cour-

bes 549 et 552

— Théorèmes relatifs à quelques grandeurs

inûniment petites 609

— Méthode pour la détermination des déve-

loppées 6a3

— Produit des rayons de courbure d'une

surface gauche 656

ÎS<>siles§$

Borciiardt. — Introduction remarquable d'une équation différentielle dans un problème d'arithmétique 214

Bouquet. — Remarque importante relati\e à la distance de deux tangentes infiniment voisines 573

Bi.rmànn. — Série de Burmann 3a 1

— Application au développement de <?* en série ordonnée suivant les puissances de aVx 3a*

Cartes géographiques. — Indication des conditions nécessaires pour qu'une carte soit parfaite 1 3i

Caitchy.— Formation d'une série convergente ou divergente en môme temps qu'une série donnée à termes positifs 234

— Applications de ce théorème. a35, »36 et 2.Z7 % — A donné le reste de la série do Taylor. . . 274

— A créé la théorie des résidus 434

(\ y le y. — Application de la formule de Lagrange au développement de — t-t ?

lorsque Ton sait développer les puissances entières de ? (z) 3io

Coefficients indéterminés. — Application

au développement des fonctions en série . 324

— On en déduit la formule de Taylor 3a5

— Développement de x cot x 3a6

— Développement du produit'

— Développement de

(iH-j-s) (i + x3z) (i-4-.r**) 3a8

— Développement de

(i + .r) (i+.r3) (i-Kr«) 3*9

Concavité et convexité d'une courre plane. 49'-* Constantes arbitraires. — Élimination

d'une constante arbitraire 1 88

— Élimination d'un nombre quelconque de

constantes 189

— Élimination de deux constantes pour for-

mer une équation aux différentielles partielles 191

— Élimination de n constantes dans une

équation qui contient un nombre égal

de variables indépendantes 196

Contact. — Définition de l'ordre du contact 533 et 534

Contingence (Angle de). —Différence entre l'angle d'une corde avec la tangente et la moitié de l'angle de contingence 5i8

Continuité. — Condition de continuité des

séries * 263

Continuité.— Démonstration d'un théorème

d'Abc! 265

— Si une série ordonnée suivant les puis-

sances de x est convergente pour certaines valeurs de x, il en est de même

de sa dérivée 267

Convergence. — Lorsque les termes sont positifs, la condition nécessaire et suffisante de convergence est que la somme n'augmente pas indéfiniment... tuj

— Condition de convergence déduite du

rapport d'un terme au précédent 2*0

— La convergence de la série à termes

positifs, dont le terme général est uH,

dépend de la limite de (#„)* 'lil

— Convergence des séries à termes positifs.

— um étant le terme général d'une série à termes positifs, il est nécessaire pour lu convergence que nnm tende vers zéro, •l'ii

— La réciproque de ce théorème n'est pas

exacte; remarque curieuse d'Abel à ce sujet 2 Vi

— Formation d'une série qui est conver-

gente ou divergente en même temps qu'une série donnée à termes positifs. 234

— Application aux conditions de conver-

gence dune série 235 et 'i%

— Formation de certaines fonctions du terme

général, dont la limite, si elle diftère de l'unité, permet de prononcer sur la convergence ou la divergence d'une série 238 et 24 1

— Règles de Gauss -lâi

— Méthode de M. Kummcr 243 et 244

— Convergence (Cercle de). — Ce que l'on

nomme cercledeconvergenced'une série. 261

— Convergencedesproduitsinfinisdelaforme

(i+a|)(i-haj-(i4-«|l).

an aa» a« étant réels et de même signe. 400

— Cas où les seconds termes, toujours réels.

ne sont pas de môme signe 4°'

— Convergence d'un produit infini dont les

facteurs^sont imaginaires 4o3

TABLE ANALYTIQUE

Convergence. — La série qui donne p— -

cesse d'être convergente lorsque x surpasse 277, et peut néanmoins servir au

calcul numérique 4 » 3

Coordonnées curvilignes. — Différentielle d'un arc de courbe en coordonnées curvilignes n3 et

— Dislance de deux points infiniment voisins

dans un système de coordonnées curvilignes

— Cas où le système est orthogonal 124

— Distance de deux points situés sur une

surface donnée ,a5

— Application des formules précédentes aux

coordonnées polaires

— Application au système formé par les sur-

faces homofocales du second degré

— Distance de deux points infiniment voisins

situés sur une surface de révolution...

Coordonnées curvilignes orthogonales.— Définition des paramètres hx, /i3, /iJ7 introduits par M. Lamé, qui ne changent pas avec la direction des axes

— .r, j, z étant les coordonnées rectilignes

d'un point, et 0, p„ pa les coordonnées curvilignes, on a

dl~" h1 (Le

— Expression de la somme

SP + îp+f/s'1 dans un système de coordonnées curvilignes orthogonales 184 et

Courbes a double courbure. — Tangente

aux courbes à double courbure 91

— Plan normal à une courbe à double cour-

bure. (Voy. Courbure, développées, etc.).

Courbes enveloppes. — L'enveloppe est le

lieu des intersections successives de

l'enveloppée •

— Équation de l'enveloppe d'un système de

courbes I0^

— Quelques applications 109 et 1 10

Courbes planes. — Distinction entre la portion du plan intérieure à la courbe, et la portion extérieure 8a

Courbes sphériques. — Détermination du

grand cercle tangent en un point donné. 93

Courbure. — Sens de la courbure 49a

— Définition de la courbure 49^

— Centre de courbure 494

— Rayon de courbure, son expression. . . . 495

— Expressions diverses du même rayon pour

une courbe plane 497

■detSS

Courbure. — Courbure d'une courbe plane

en un point de rebroussement 5oi

— Rayon de courbure de l'ellipse, de la cycloïde, delà spirale logarithmique. 5o4 et 5o5

— Rayon de courbure d'une roulette 5o6

— Courbure des lignes orthogonales 5o8

— Définition de la courbure d'une courbe à double courbure 5;8

— Rayon de courbure d'une courbe à double courbure • ^84

— Propriété des courbes dont la courbure est constante 607

— Courbure d'une section normale dans une surface 6*4 et 633

— Courbure d'une section oblique 629

— Courbure d'une ligne quelconque tracée sur une surface 63o et 632

Courbure (Cercle de). — Sa définition.. 493

— Il traverse la courbe 496, 525 et 54i

— Distance d'une courbe à son cercle de courbure 5-2 1

— Cercle de courbure d'une ligne sphérique. 544

— Pôle du cercle de courbure 545

— Définition du cercle de courbure d'une courbe à double courbure 582

— Formules élégantes dues à M. Serret 590

Courbure géodésique. — Définition de la

courbure géodésique d'une ligne sphérique 542

— Courbure géodésique d'un petit cercle. . . 543

— Diverses expressions de la courbure géodésique d'une ligne sphérique 546

— La courbure géodésique est proportionnelle à la distance de la courbe au grand cercle qui la touche 55o

— Définition de la courbure géodésique sur une surface quelconque 714

— Différentes expressions de la courbe géodésique 7*4 et 719

Courbure (Ligne de). — Définition des lignes

de courbure 663

— Leur équation différentielle 665

— Quand une ligne de courbure est commune à deux surfaces, les surfaces se coupent sous un angle constant 678

— Les lignes de courbure correspondent aux lignes de courbure dans la transformation par rayons vecteurs réciproques. 683

— Détermination des lignes de courbure des surfaces de révolution 685

— Surface dont les lignes de courbure sont des sections principales 7°°

— Surface dont les lignes de courbure sont indéterminées ~j7

— Lignes de courbure de l'ellipsoïde 689

NoidcsSS Courbure ( Ligne de). — Des surfaces développâmes 690

— Lignes de courbure de la surface enve-

loppe d'une sphère 694

— Le rayon de courbure d'une surface-canal

est constant 696

— Surface dont toutes les lignes de courbure

sont des cercles 698

— Surfaces dont les lignes de courbure sont

planes et situées dans des plans parallèles. 703

— Surface dont toutes les lignes de cour-

bure sont planes 705 et 706

Courbure (Rayons principaux de). — Leur

définition en un point d'une surface 627

— Moyen de les déterminer 634

— Expression remarquable du rayon de

courbure principal 637

— Méthode élégante pour déterminer le

produit des rayons principaux * 654

TABLE ANALYTIQUE

N0$des$§

Courbure (Ratons principaux de). — Application aux surfaces gauches 656

— Théorème de Sturm sur les normales

d'une surface 658

— Rayon de courbure d'une surface déve-

loppable 690

— Unesurface dont les deux rayons de courbure

principauxsontconstantse*tunesphère. . 699 Courbure (Seconde). — Définition de la

seconde courbure 58o

— Rapport des deux courbures 58i

— Expression de la seconde courbure 589

Cycloïde. — Tangente à la cycloïde i4

— Arc de cycloïde 2<>

— Longueur d'un arc de cycloïde 20

— Diflérentielle d'un arc de cycloïde 1 19

— Son rayon de courbure. . . : 5o4

— Sa développée 529

Dérivées. — Définition de la dérivée 3

— Dérivée ; définition 23

— La dérivée de l'ordonnée est le coeffi-

cient angulaire de la tangente 24

— Dérivée de x™ 26

— Dérivée de a7 27

— Dérivée de log x 28

— Dérivée de sin x 29

— Dérivée de cosx 3o

— Dérivée de tang x 3i

— Dérivée de arc sin x 34

— Dérivée dearccosx 34

— Dérivée de arc tang x 34

— Dérivée d'une fonction de fonction 36

- Dérivée d'une fonction liée à la variable

par plusieurs fonctions intermédiaires.. 38

— Dérivée d'un produit 39

— Dérivée d'un quotient 40

— Dérivée d'une puissance 4 1

— Dérivée d'une expression de la formel. 4*

— Dérivée des fonctions simples 25 et 3i

— Des fonctions inverses 32 et 35

— Des fonctions de fonctions 36 et 37

— Emploi des dérivées pour l'étude des fonc-

tions 44

— Ordre de grandeur d'une dérivée infini-

ment petite 45

— Dérivées partielles; leur définition 5o

— Importance des variables qui sont con-

sidérées comme constantes 5 1

— Dérivée d'une fonction composée 58

Dérivées. — Dérivée d'une fonction implicite. 60

— Cas de deux équations à deux inconnues, (h

— Cas d'un nombre quelconque d'équations. 63

— Cas de plusieurs variables indépendantes.

64, 65 et 6f>

— Il existe toujours une fonction dont la

dérivée soit égale à une fonction donnée. 1 15

— Définition des dérivées d'ordre supérieur

au premier 1 3a

— Dérivées successives d'un produit i3g

— Dérivées successives d'une fonction de

fonction 140

— Dérivées successives de ^(x2) 141

— Calcul de ^-^ U3

— Dérivées de arc tangx 144

— Dérivées de arc sin x i45

— Dérivées d'ordre supérieur au premier

x pour les fonctions de plusieurs variables.. 159

— L'ordre dans lequel on prend deux déri-

vées successives est indifférent. ....... 1 60

— Dérivées d'ordre supérieur des fonctions

implicites i65 et 166

dmxm(\x)m

— Expression élégante de ~j — - ...... 3o;

— Dérivée d'ordre quelconque d'une fonc-

tion de fonction 3o8

— Valeurs numériques de quelques dérivées

lorsque l'on suppose la variable nulle. . 146 à i58

TABLE ANALYTIQUE

N°«de8§§

Dérivées partielles. — Définition des dérivées partielles du premier ordre 5o

— La dérivée partielle d'une fonction

donnée, prise par rapport à une variable donnée, n'est déterminée que lorsqu'on se donne les autres variables supposées constantes dans le calcul de la dérivée. 5i et 5a

Déterminants. — Définition des déterminants 68

— Condition pour qu'un déterminant soit

nul 69

-r- Produit de deux déterminants 70

— Définition du déterminant d'un système

de fonctions 71

— Définition analogue à celle de la dérivée. 72

— Condition nécessaire et suffisante pour

que le déterminant d'un système soit

nul 73 et 74

— Déterminant d'un système de fonctions

de fonctions 75

— Déterminant d'un système de fonctions

inverses 76

— Réduction du déterminant d'un système

de fonctions à un monôme 77

— Lorsque l'on développe le déterminant du

système de deux fonctions de variables x et /, la série qui le représente ne con-

tient pas de termes en — .

Développables (Surfaces). — La propriété d'avoir un rayon de courbure infini est

caractéristiquedessurfacesdéveloppables 693

Développée. — Arc de développée 22

— Leur définition 522

— Leurs propriétés 523 et 524

— Développée de l'ellipse 5*7

— De la cycloïde 529

— Développée d'une épicycloïde 5a8 et 53 1

— De la spirale logarithmique 53a

— Développées sphériques 553

— Définition dé la développée d'une courbe

à double courbure 610

— Longueur d'un arc de développée ... 611

— Normale principale de la développée 61 3

Développées.— Surface lieu des développées. 6 1 5

— Les développées deviennent rectilignes

par le développement de la surface qui

les contient 616

— Équation des développées 62a

Nos

Différentielle. — Définition de la différentielle d'une fonction d'une seule variable

— Interprétation géométrique de la différen-

tielle

— Différentielle d'une fonction de plusieurs

variables

— Avantage que l'emploi des différentielles

peut présenter sur celui des dérivées. .

— Cet avantage se montre surtout lorsquo

Ton considère plus de deux variables. .

— Définition de la différentielle d'une fonc-

tion de plusieurs variables

— La différentielle peut remplacer l'accrois-

sement de la fonction. . . . 53, 54, 55 et

— Les variations infiniment petites de plu-

sieurs variables liées par une équation sont toujours liées par une équation du premier degré

— Différentielle d'une aire plane

— En coordonnées polaires

— Différentielle d'un arc de courbe

— En coordonnées polaires

— Différentielle d'un arc de courbe non plane rapportée à trois coordonnées po-

laires.

— Différentielle d'un arc do courbe dans un

système de coordonnées curvilignes. . .

— Différentielle d'un arc de courbe tracé

sur une surface

— Définition des différentielles d'ordre su-

périeur au premier

— Influence de la variable indépendante sur

les différentielles d'ordre supérieur au premier

Différentielles d'ordre supérieur ai premier. — A"/ eidy sont deux infiniment petits d'ordre n dont le rapport a pour limite l'unité

— Différentielles d'ordre supérieur pour les

fonctions d'une seule variable.. . i33 et

— D'ordre n d'une fonction de deux varia-

bles; représentation symbolique

— Définition des différentielles de divers or-

dres pour les fonctions de plusieurs variables

— Extension de la formule

— Représentation de la différentielle par

dcs§§

une formule symbolique 162 et i63

TABLE ANALYTIQUE

Noades§§

Différentielle d'ordre supérieur au premier. — Cas où les variables ne sont pas indépendantes 164

— Différentielles d'une fonction de plusieurs

variables non indépendantes .' . 164

— Influence de la variable indépendante sur les

différentiellesd'ordresupérieurau premier 167 Duhamel. — Remarque re'ative à la continuité des séries 264

Dupin (Charles).

trice

N°sdes$S -Ce qu'il nomme indica-

— Tangentes conjuguées 645

— Théorème important relatif aux lignes de

courbure des surfaces orthogonales. ... 681

— A trouvé la surface dont toutes les lignes

de courbure sont des cercles 698

Eiseinstein. — Auteur d'un théorème relatif au développement des puissances quelconques d'une série 332

Épicycloïde. — Tangente à Tépicycloïde. . . 83 Équations aux dérivées partielles. —

Élimination d'une fonction arbitraire.. . . 157

— Formation d'une équation aux différen-

tielles partielles par l'élimination de deux constantes 191

— L'équation obtenue est plu3 générale que

celle dont elle provient 192

— Formation d'un nombre infini de solu-

tions distinctes de celle que l'on s'est donnée icj3

— Extension aux fonctions d'un nombre quel-

conque de variables 196

— Élimination de k fonctions arbitraires

figurant dans X-f-i équations simultanées 199

— Examen d'un cas exceptionnel qui se pré-

sente chaque fois que l'équation aux différentielles partielles obtenue est du premier ordre, sans être du premier degré, par rapport aux dérivées 201

— Des surfaces cylindriques 202

- Des surfaces coniques 2o3

— Des surfaces de révolution 204

— Des surfaces conoïdes 206

-- Des surfaces engendrées par une droite

qui rencontre une droite fixe 207

— Des surfaces gauches à plan directeur. . 208

— Des surfaces développables 209

— Des surfaces réglées 212

— Des surfaces-canaux 2 1 3

Équations aux dérivées partielles. —

Des surfaces dont les lignes de courbure

sont planes 706

Équations différentielles. — Définition

d'une équation différentielle 1 86

— Formation des équations différentielles par

l'élimination d'une constante 188

— Élimination d'un nombre quelconque de

constantes 189

— Introduction remarquable d'une équation

différentielle dans un problème d'arithmétique > ai4

Équations différentielles totales. — Leur

définition ai5

— Manière de les former par l'élimination

d'une constante 216

— Une équation différentiel le totale de la forme

p</.v+Q<(r-t-fL</z = o

ne correspond pas toujours à une relation entre x, y et z 217

— Généralisation des résultats précédents.. 218 Euler. — Transformation d'une classe de séries 25o

— A donné le premier les développements

de sin mx et de cos mx en série ordonnée suivant les puissances de sin x et

de cos x 4°4

— - A donné le développement

(1 — x)(i — x2)(i—x*) en série ordonnée suivant les puissances de x 33o

— A donné la formule

(2 cos.r)"» = cos mx -f- m cos [m -a)x+...

Fonctions.— Défini lion des fonctions inverses. 32

— Définition des fonctions de fonctions 36

— Conditions pour qu'une fonction soit crois-

sante ou décroissante 44

— Étude de la fonction 44

— Étude delà fonction /(1 -f- x) — x 44

Fonctions. — Formation d'une équation aux différentielles partielles par l'élimination d'une fonction arbitraire..

197 et 198

— Élimination do A fonctions arbitraires figurant dans X-f-î équations simultanées 199

TAÛLE ANALYTIQUE.

Nos des §§

Fonctions. — Fonctions que Legendre a désignées parX„ 354

— Expression X„ déduite du théorème de

Lagrange 3 1 5

— Même expression obtenue directement.. 355

— L'équation Xw = o a n racines réelles

comprises entre — 1 et -h 1 356

— Équation différentielle du second ordre

à laquelle satisfait X„ 357

— Relation simple fentre X„, XM+I et X,,,,.. 358

— Expression de la dérivée — 7^ 358

— Définition dune fonction imaginaire.. . . 35q

— Conditions |>our qu'une expression de

la forme P 4-Qv/— » soit fonction do •r-hv/^7 3tio

— Équation aux dérivées partielles à laquelle

doivent satisfaire P et Q 36i

— Deux fonctions imaginaires qui ont même

dérivée ont une différence constante. . . 364

— Définition de quelques fonctions. 365 et 377.

— Distinction entre les fonctions bien et mal

déterminées 373

— Comment on désigne une valeur spéciale

pour une fonction mal déterminée 373

— Si la courbe qui sert à définir cette valeur

se déforme , il y a changement brusque lorsqu'elle traverse certains pointsdu plan 374

— Étude de >Jx-\- y y/^1 375

— Étudede (1 -+-z)w 376

— Recherche de la fonction de forme donnée

qui s'écarte le moins possible d'une fonction donnée 488

Application à la recherche du polynôme de degré n qui s'écarte le moins possible de zéro 491

Fonctions de fonctions. - Déterminant d'un

système de fonctions de fonctions 75

— Dérivées successives d'une fonction de

fonction 140 et 141

— Dérivées de la fonction <p (x*) "..... 142

— Dérivée d'ordre quelconque d'une fonc-

tion de fonction 3o8

Fonctions de plusieurs variables. — Expression de son accroissement infiniment petit sous forme de série 393

— Développement en série ordonnée suivant

les puissances et les produits des variab,es 394 et 395

— Extension de la formule de Lagrange aux

fonctions de deux variables 397

— Démonstration de Jacobi 3gg

— Maximum et minimum des fonctions de

N°8des§§

Fonctions de plusieurs variables.— Extension aux fonctions de plusieurs variables. 482 Fonctions génératrices. — Leur définition. 33;

— Principes de leur théorie 337 et 340

— Quelques applications 34 1

Fonctions implicites. — Dérivées d'ordre

supérieurdesfonctionsimplicites. i65et i(>!»

— Maximum et minimum des fonctions im-

plicites 48 4

Fonctions inverses. — Déterminant d'un

système de fonctions inverses 7(1

Fonctions symétriques. — Application du calcul des résidus au calcul des fonctions symétriques des racines d'une équation. 448

— Application à deux équations à deux in-

connues 4 JO

Fraction. — Véritable valeur d'une fraction

qui se présente sous la forme - f 5i

— Cas où la fraction contient deux variables.

— Fraction qui se présente sous la

forme g 453 et 454

Fractions continues. — Leur définition... . 419

— Transformation de la série

A, A, Aj en fraction continue 4^0

— Application à 1 2 et à 7

— Transformation d'une série de la forme

— Application à 1 -M/z-f-yV-K . . r/*V.

— Transformation de