LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Il faut bien observer que l'équation (2) est une conséquence rigoureuse de l'équation (1). Comme, en faisant le raisonnement d'une manière incomplète, on pourrait être conduit à penser le contraire, nous insisterons sur ce point important. L'équation

ayant lieu identiquement lorsqu'on y a remplacé y par sa valeur en x, l'accroissement de cette fonction est rigoureusement nul ; il semble donc que sa valeur

dxax+ dyar'

dans laquelle on néglige (53) les infiniment petits du second ordre, n'est pas égale à zéro, mais seulement infiniment petite du second ordre, en sorte que l'on a rigoureusement

€ étant infiniment petit du second ordre. Cette équation serait suffisante pour fournir la valeur de^-» car -^- est nul à la limite; mais on peut démontrer que e est

rigoureusement nul et que l'équation (2) a lieu sans aucune erreur. Remarquons en effet que, y étant une fonction de x (peu importe qu'elle soit connue ou inconnue), dy est de la forme Kdx; le premier membre de l'équation (2) est donc le produit de dx par un certain coefficient fonction de x; or il faut que ce coefficient soit nul pour que le produit soit infiniment petit d'un ordre supérieur au premier, et dans ce cas il est rigoureusement égal à zéro.