et
— Autres formes indéterminées 456
— Emploi des séries pour trouver la véri-
table valeur d'une forme indéterminée.
458 et 461
Indicatrice.— Définition de la courbe nommée
indicatrice par M. Dupin 638
— Son emploi pour la démonstration de
quelques théorèmes 638 et 645
Indicatrice spiiérique. — Sa définition. . . . 566 Infiniment petit. — Définition d'un infiniment petit 1
— Des infiniment petits de différents ordres. 1
Infiniment petit. — L'accroissement infiniment petit d'une fonction est de même ordre que celui de la variable 2
— Si les coordonnées des points d'une courbe
s'expriment en fonction d'une variable a, la distance de deux points infiniment voisins de la courbe est de même ordre que la différence des valeurs de a auxquelles ils correspondent 4
— Si les points d'une courbe correspondent
un à un à ceux d'une autre courbe, la . distance de deux points voisins est de même ordre que celle de leurs correspondants S
— Si une ligne droite se déplace suivant
une loi continue, l'angle de deux positions infiniment voisines est de même ordre que la variation correspondante du paramètre 6
— Si les points d'une surface correspondent
un à un à ceux d'une autre surface, la distance de deux points voisins de l'une est de même ordre que celle de leurs correspondants sur l'autre 7
— La distance d'une courbe à sa tangente,
à distance infiniment petite du point de contact, est infiniment petite du second ordre 8
— Il existe en chaque point d'une courbe
plane un cercle qui la touche, et qui s'en approche infiniment plus que la tangente 10
— Condition nécessaire et suffisante pour que
deux infiniment petits puissent être substitués l'un à l'autre dans la recherche de la limite d'un rapport ou d'une somme 1 1 et 12
TABLE ANALYTIQUE
No«des§$
Infiniment petit. — Condition pour que deux points voisins puissent être substitués l'un à l'autre dans la recherche • d'une tangente 1 3
— Le plan tangent d'une surface est à dis-
tance infiniment petite du second ordre de tout point de la surface infiniment voisin du point de contact 16
— Condition pour qu'un point puisse être
substitué à un autre dans la détermination d'un plan tangent 17
— La différence entre un arc et sa corde est
infiniment petite du troisième ordre. . . 19
N°»des§§ Infiniment petit.— Accroissement infiniment petit d'une fonction exprimé sous forme de série 276
— Accroissement infiniment petit d'une fonc-
tion de deux variables 393
— Ce que Ton nomme valeur principale. . . 548
— La dérivée d'un infiniment petit a pour
valeur principale la dérivée de la valeur principale 549
— Distance d'unecourbe à sonplanosculateur 608
— Distance de deux tangentes infiniment
voisines 609
Jacobi. — Définition du déterminant d'un
système de fonctions 71
— A donné l'expression simple de
fùc»-1
Jacobi. — Démonstration de la formule de
Lagrange 3i4
— Démonstration de la formule de Lagrange
dans le cas de deux variables 398
— Théorème relatif à une courbe fermée
quelconque 725
Kummer. — Méthode pour décider de la convergence d'une série 243 et 244
Kummer. — Méthode de sommation pour les
séries 255, 256 et 257
Lagrange.— Reste de la série de Taylor
— Formule de Lagrange pour développer la •
fonction définie par l'équation
z = a-\- xy[z)
— Généralisation due à Laplace
— Quelle est la racine développée par la
formule de Lagrange
— Seconde démonstration due à Jacobi
— Application de la formule au développement de (1 — 2/u:-4-x,)~"T.
Application de la formule au développe-
ment de
i-rVi-f-*) Développement de la racine d'une équation du second degré
— Développement de la racine de l'équation
j^+l -f- ax — b'= o
— Développement de la racine de l'équation
aQ= at x-r- (1^0:*+...+ amx*
— Développement de — — lorsque l'on sait
développer les puissances entières de y (z) .
— Expression symbolique de la série de
Taylor
— Extension de la formule aux fonctions de
deux variables
Lamé. — Formule remarquable relative aux courbures de deux séries de lignes orthogonales , 5i 1
— Formule analogue pour les courbes tra-
cées sur la sphère 558
— Formules analogues relatives à une sur-
face quelconque 739
Laplace. — Démonstration qu'il a donnée de
la formule de Lagrange , . . . . 3i 1
— Généralisation de la formule 3 12
— Auteur de la théorie des fonctions géné-
ratrices 337
— A donné l'expression symbolique du dé-
veloppement de <p («r-4-A, 7 4-*), a étendu la formule de Lagrange aux fonctions de
deux variables 398
Lbgendre. — A étudié le premier certaines fonctions qui naissent du développement
de ( 1 — 2<rz-r-z')~ï. 354
Leibnitz. — A déduit le développement
de
de la théorie des intérêts
composés
Liouyille. — Ce qu'il nomme courbure géodésique
TABLE ANALYTIQUE
Noides§$
Logarithmes. —Étude de la fonction l(i+s),
lorsque z est imaginaire 377
— Développement de 1 (1 -M), lorsque z est
imaginaire 38 1
Logarithmique (Spirale). — Son rayon de courbure 5o4
— Sa développée 53*
Maclaurin. — Série que Ton désigne habituellement sou& le nom de théorème de Maclaurin 278
— Démonstration du théorème de Maclaurin,
déduite de la méthode des coefficients
indéterminés 279
Mannheim. — Démonstration du théorème de M. Dupin sur la surface dont les lignes de courbure sont circulaires 698
Maxima et mimma.— Définition du maximum
d'une fonction d'une seule variable 47*
— Condition du maximum et du minimum. 473
— Plus courte distance d'un point à une
courbe 474 et 479
Maxima et minima.— Conditions de maximum ou de minimum pour les fonctions de deux variables 480
— Extension aux fonctions d'un nombre
quelconque de variables 481
— Maxima et minima des fonctions implicites. 484 Minima ( Ligne ). Voy. Géodésique ( Ligne).—
Le plan osculateur de la ligne minima sur une surface est normal à la surface. 63 1
— Les tangentes à une série lignes géodési-
ques sont normales à une même surface. 661 Monge.— Propriété caractéristique des droites
normales à une même surface 649
Murpbt. — Application élégante du théorème
de Taylor 3o;
Normal (Plan)» — Plan normal à une
courbe à double courbure 9a
— Équation du plan normal à une courbe à
double courbure 92
Normale. — Équation de la normale à une
courbe plane 78 et 79
— Angles formés par la normale à une
courbe plane avec les axes de coordonnées 81
— Distinction entre la normale intérieure et
la normale extérieure 82
— Normale à une surface courbe 95
— Angles de la normale avec les axes 96
— Distinction entre la normale intérieure et
la normale extérieure 96
— Équation de la normale à une courbe
plane 78 et 79
— 11 n'existe pas en général de surface nor-
male à un faisceau donné de droites .... 647
— Condition nécessaire pour que la surface
existe 648
— Propriété caractéristique des normales à
une surface 65o
— Expression des angles qui caractérisent
la direction dé la normale dans le voisinage d'un point donné 65i
— Lorsque des rayons normaux à une sur-
face «ont réfractés, quelle que soit la surface de séparation des milieux, ils restent normaux à une surface 659
Normale. — Surface tangente aux normales d'une surface donnée 6-3
— Cette surface a deux nappes qui, vues
d'un point quelconque, paraissent se couper à angle droit 67S
— Lorsque les normales d'une surface sont
tangentes à une sphère, elles sont
aussi tangentes à un cône 676
Normale (Principale). — Sa définition 587
— Calcul des angles qu'elle forme avec les
axes 58;
— Surface lieu des normales principales. .. 596
— Les normales principales ne sont pas tan-
gentes à une même courbe 597
— Plus courte distance de deux normales
principales infiniment voisines 600
— Normale principale de la développée d une
courbe 6i3
Normale (Sous-). — Expression de la sousnormale 680
— Expression de la sous-normale en coor-
données rectilignes 80
— Expression de la ligne que l'on nomme
sous-normale en coordonnées polaires.. 87 Notation symbolique. — Représentation symbolique de la série de Taylor 343
— Application de la notation symbolique au
développement de ? ( x -+- h ) — ? (.r ). . . 344
— Démonstration du théorème d'Herschel. 345
TABLE ANALYTIQUE
N<»des§§ Ombilics. — Leur définition 635
— 11 faut deux équations pour les détermi-
ner '• . . . 635
Orthogonales (Courbes). — Distance de
deux courbes infiniment voisines 5oy
— Expression du rayon de courbure en fonc-
tion des coefficients de la distance de deux points voisins 5o8
— Théorème de M. Lamé sur la variation
des courbures de deux systèmes de courbes planes orthogonales 5i î
— Loi de variation des côtés des rectangles
qui décomposent un plan 5i4
— Courbes orthogonales sur la sphère,
théorèmes analogues à ceux qui se rapportent aux lignes planes 556 à 56 1
— Théorème analogue relatif aux lignes tra-
cées sur quelques surfaces 739
— Théorème de M. Dupin 681
Osculateur (Cercle). — Définition du cercle
oscillateur 10
— Se présente à l'occasion de la plus courte
distance d'un point à une courbe 474
N°»de«SS Osculateur (Cercle). — Il ne diffère pas
du cercle de courbure 540
— Le cercle oscillateur d'une courbe à dou-
ble courbure ne diffère pas du cercle de
courbure 583
Osculateur ( Plan ) . — Sa défini lion . 56a à 566
— L'angle du plan osculateur avec la tangente
voisine est infiniment petit du second ordre 567
— Intersection du plan osculateur avec la
tangente voisine 568
— Intersection de deux plans oscula leurs in-
finiment voisins : 569
— Intersection de trois plans oscula leurs
infiniment voisins 570
— Surface-enveloppe des plans oscula teurs. . 571
— Équation du plan osculateur 574
— Plan osculateur de l'hélice 577
— L'axe du plan osculateur est l'intersection
de deux plans normaux voisins 5g3
— Distance d'une courbe au plan osculateur. 608 Osculatricb (Sphère). — Sa définition 601
— Détermination de son centre et de son
rayon 6o3 à. 606
Osculatrices (Courbes). — Leur définition. 539
P adula. — Remarque relative aux points
singuliers 467
Plan tangent. — Démonstration géométrique de l'existence du plan tangent en un point d'une surface 1 5
— Le plan tangent d'une surface est à dis-
tance infiniment petite du second ordre de tout point de la surface infiniment voisin du .point de contact 16
— Condition pour qu'un point puisse être
substitué à un autre dans la détermination d'un plan tangent 17
— Détermination géométrique du quelque*
plans tangents 17
— Équation du plan tangent a une surface. \).\
— Détermination de quelque* plan» tmi-
«enfc uH vi un
— Remarque relative aux problème»* préi'é-
dents , mo
— Plan tangent dune nurfare réglée mu
— Cas ou la surface réglé" est développahle. mï!
Poi.nsot. — A levé le premier les difficultés relatives aux développements de sinm.r et de cos/wx en séries ordonnées suivant les puissances do *in.r et do eos.r.
— A le premier précisé lo sons des formu-
les sur lo développement des fonctions angulaires
Poisson. — Objection a la formule ( a co* r )m cou m.r \- m cou (m ■ *a ) >r 4* . donnée par Kulor
Produit* inhni*. — Kxpre**lon remarquable de n sous forme do nrodult* Infini*.
— Développent un *érle du produit
, * -r») (1 ♦ .••*)(« *■ ••*»)• Développement de
Développement de
(1 1 .»•(» 1 .t-Mli ' Développement il**
I W\ 0I1 i|»|initif*ii I dt» p *en produit.
.{iC'i 1i7
:ij8 3uu :i:io
TABLE ANALYTIQUE
No«des$S
Produits infinis.— Condition de convergence de i +«,)(! + «,). ..(i+«,),...
a„ a2, ... am étant réels et de même signe 4 oo
— Quels que soient les signes de a,,^,...^,
le produit est convergent lorsque les deux séries
a, -ha, -h. . .-j-a-...
a» + aî+. .. + <*;...
sont toutes deux convergentes 4oi
— Produits dont les facteurs sont imagi-
naires 4o3
— Expression de sin x sous forme de pro-
duit infini 4<>4
N<»d«$$ Produits infinis. — Expression de cos x. . 4o5
. . , cos.r — COSrt
— Expression de
— Expression de
i — cosa
cos x -f- cos a
i -h cos a
— Expression de cos x -f- tang - a sin x 407
— Expression de cos x — tang - a sin x . . . . 407
— Expression de »
Rebroussement (Point de). Voy. Singulier.
— Le rayon de courbure est nul en un
point de rebroussement de première
espèce 5oi et 5o2
Résidu. — Définition du résidu d'une fonction 434
— Toute fonction qui devient infinie n'a pas
un résidu correspondant 435
— Trouver le résidu d'une fonction donnée
pour une valeur de la variable qui la rend infinie 436
— Notations employées pour représenter les
résidus , 438
— Si ff (x) devient infinie pour x =a, la
différence
conserve une valeur finie 439
— Application du théorème précédent à la
décomposition des fractions rationnelles 44 1
— Somme des résidus d'une fraction ration-
nelle 442 et 443
Résidu. — Changement de la variable indépendante dans un résidu 7 444
— Application de la théorie des résidus à la
démonstration de quelques séries 447
— Application de la théorie des résidus au
calcul des fonctions symétriques des racines d'une équation 448
— Extension au cas de deux équations à
deux inconnues 45o
Roberts (William). — Remarque sur un mode de transformation des courbes qui n'altère pas l'angle sous lequel elles se coupent 90
RocnE. — A donné une expression du reste de la série de Taylor. 275
Rodrigues. — A donné le premier une expression remarquable de la fonction désignée par X„ 355
— Propriété caractéristique des lignes de
courbure 669
Roulette. — Rayon de courbure d'une roulette 5o6
Schlomilcb. — A donné une expression du
reste de la série de Taylor 275
Sections principales. — Leur définition. . . 627
— Moyen de les déterminer 633
— Relation remarquable entre des varia-
tions relatives à deux déplacements effectués suivant les sections principales C36
— Surface dont les lignes de courbure sont
des sections principales 700
Séries. — Définition d'une série convergente
et divergente 220
Séries.— Sommation immédiate de quelques séries 221, 222, 223 et 224
— Sommation de quelques séries par la dé-
composition en séries plus simples 225 et 226
— Transformation d'Euler pour les séries
ordonnées suivant les puissances de x.. a5o
— Nécessité do n'employer dans la transfor-
mation que des séries convergentes. . . 25 1
— Remarque curieuse à ce sujet 25 1
— Seconde démonstration qui donne une
limite de l'erreur commise 252
TABLE ANALYTIQUE
ifi
N<»des§§ Subies. — Sommation par la méthode de
Stirling 253 et 254
— Méthode de M. Kummer. . . 255, 256 et 257
— Multiplication de deux séries à termes
réels et positifs 269
— Multiplication de deux séries telles, que
les modules des termes forment une série convergente 270
— Développement de a* 280
— Développement de 1 (1 -f-x) 281
— Singularité que présente cette série
pour x= 1 , lorsque Ton groupe convenablement les termes 282
— Développement de ( 1 H- x)w 283
— Condition de convergence de la série pré-
cédente, pour x = 1 284
— On peut, du développement de ( 1 -4- x)*",
déduire celui de 1 ( 1 -h x) 285
— On peut également en déduire le déve-
loppement de arc sin x 286
— Et celuide (1— aax+a^'T 288
— Définition et expression de la fonction
nommée X„ 288
— Développement de sin x 289
— Développement de cos x 290
— Développement de cos mx en série or-
donnée suivant les puissances de sin x. 291
— Développement de sin mx en série or-
donnée suivant les puissances de sin x. 292
— On en déduit le développement de x en
série ordonnée suivant les puissances
de sin x 294
— On en déduit aussi les développements
de sin x et de cos x en séries ordonnées suivant les puissances de x 295
~. , . j sin/wx . .
— Développement de — — en séné or-
cos x
donnée suivant les puissances de tang x. 299
— Développement de arc tang x 3oo
— Développement de arc tang (x-f-/i). . . . 3oi
— Diverses conséquences de cette formule. 3oi
— Développement de arc sin x 302
— Développement de (arc sin) a 3o3
— Développement de x cot x 3o4
— Développement de -5 et de ... 3o5
— Divers développements déduits de celui
de x cos x 3o6
— Série de Bernoulli 309
— Application de la série de Bernoulli au
calcul numérique de yfx et de y^3 3 10
— Série de Lagrange 3 1 1
— Généralisation de la formule 3i2
— Quelle est la raciue développée 3i3
— Lorsqu'une fonction est développable en sé-
rie ordonnée suivant les puissances de x,
N"desSS le développement de la dérivée ne contient pas de terme en - 3i4
Séries. — Démonstration de la formule de
Lagrange par Jacobi 3i4
— Développement de ( 1 — 2 ax — x2 ) ' » dé-
duit de la formule de Lagrange .3i5
— Développement de [ , ) 3 16
Vi+v/i+x/ — . Racine de l'équation du second degré développée par la formule de Lagrange.
— Racine de l'équation x"^1 -f- ox — b = o .
— Racine de l'équation
«0 = ^1x-+-«axa-h... +anz* développée suivant les puissances de a9.
— Théorème de Cayley 320
— Série de Burmann 321
— Application au développement de *** en
série ordonnée suivant les puissances
de zà% 322
— Séried'Abel 323
— Développement en série de quelques pro-
duits infinis 327 et 33o
— Puissance rttn" d'une série ' 33 1
— Théorème d'Eisenstein démontré par
M. Sylvester 33a
— Série de Stirling 333
— Formule de M. Boole 334
— Formule de M. Tchebitchef 335
— Limites hors desquelles le développement
d'une fonction en série ordonnée suivant les puissances de la variable est impossible 379
— Développement de 1 ( 1 4- z) lorsque z est
imaginaire 38i
— Série remarquable déduite de la précé-
dente 382
— Développement de (1+2)" lorsque z est
imaginaire 384
— Développement de ~ 387
— Développement de tang x et de cosécx. 388
— Développement de (1 — 2 ar+ a*)" * ex-
pression des coefficients 3$9
— Développement de la fonction y définie
par l'équation
tang j= cos a. tang x 390
— Démonstration des formules
cot x =
tang x =
sin a k ai
ff , r 3tt
