I I COS X COS X COS X

5cos5* =

3 (i— 4sin'jjA 3 fi —4 fi— cos'ijrYl 3 ^cos'ijr — 3^

c'est-à-dire

cosar= 4 cos' x* — 3cos^x,

ce qui est exact.

62. Passons a un cas plus compliqué. Supposons que y et z soient deux fonctions de x liées à la variable par les équations

Si ces équations étaient résolues par rapport à y et à s, en y remplaçant les variables par leurs valeurs en fonction de xf elles deviendraient identiques, chacun des premiers membres aurait par conséquent une différentielle rigoureusement égale à zéro, on a par conséquent

dy . d* , d* j Txdx+Tydr+tzdz = °>

-(k+71 dr •+■ -r- dz = o, dx dy J dz

d'où Ton déduit

r dr dz

dl,

dyjl.b dy dty dy d^ dydty d-rdl dzdy dzdx dxdz dx dy dy dx

et ces équations font connaître les différentielles dy9 dz, ou, ru qui revient au môme, les dérivées

dy d'fy

dr dz dx

dydt dx dz dy dty dz dy

dy dty Hx dy~

d * d"l dy dx

dx dy dty Tljdz"

dx "

~~ dy d$ djdz'

dy thb

dz dy

63. Si le nombre des équations, toujours égal à celui des fonctions inconnues, devenait plus grand que deux, la marche à suivre serait la même, et il n'y aurait rien à changer au raisonnement. Les rapports des différentielles s'obtiennent dans chaque cas par la résolution d'un système d'équations du premier degré» et Ton sait que l'on ne doit pas chercher autre chose que ces rapports, puisque Tune des différentielles est essentiellement arbitraire.