LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Si l'on a, par exemple,

?■ (*>r> z> u9v)=zo, ?* (*,r> z, u, v)=°,

les différentielles dx, dy, dz, du, ^ sont liées par les équations

et ces équations, déterminant le rapport de deux quelconques de ces différentielles, permettent de calculer la dérivée de Tune des variables par rapport à une autre variable désignée, que Ton prendra pour variable principale.

64. Lorsque les fonctions implicites que Ton considère dépendent de plusieurs variables indépendantes, il n'y a rien à changer à ce qui précède. Le calcul de la dérivée de la fonction par rapport a Tune des variables, peut se faire comme si toutes les autres variables indépendantes étaient constantes et en les traitant dans les calculs comme des paramètres constants.

Supposons, par exemple, que weU soient deux fonctions de x et dey définies par les équations

Pour calculer lesilérivées -r- et -p> on fera absolument le même calcul que si, y étant une constante, il s'agissait de deux fonctions d'une seule variable. Un second

Ialcul fera connaître -r et -A , "

Les dérivées -t-> -j^> se déduiront des équations dx dx ^

-y— <IX +

dx

-ji dv = o, dv

et les dérivées -p > -r se déduiront des deux suivantes : dy dy

d¥ . rfF . , rfF .

^dr+dïdu + -d-vdv==0'

Il est bien entendu que dans les équations (a), du et <& n'ont pas la même signification que dans les équations (3). Dans les premières, les différentielles sont prises par rapport à x, et dans les deux autres, elles le sont par rapport à/. Ce qui a été dit (48) n'est pas applicable ici : la différentielle d'une fonction est indépendante de la variable par rapport à laquelle on la prend, lorsque la fonction dépend d'une seule variable et que l'on substitue à cette variable «une variable nouvelle qui en dépende ; mais ici les deux variables x et y sont indépendantes et leurs différentielles dx et dy ont un rapport entièrement indéterminé.

65. On peut procéder d'une autre manière et calculer a la fois les quatre dérivées

-t-> -r-> -t-> -r-/» il f$ut pour cela prendre pour inconnues les différentielles totales

du et dv. Si dans les équations ( i ) on donne simultanément à x et à y les accroissements dx et dy, il en résultera pour u et v des accroissements que l'on pourra regarder, en négligeant les infiniment petits du second ordre, comme égaux à du et dv (54), et les fonctions F et ç ne variant pas, on aura, en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre,

dV d¥ . d¥ , dF ,

-j- dx ■+- -j- dy -4- -r- du -f- -j- dv = o , dx dy % du dv

dy t do , de , do ,

-r- dx -k — dy 4- -^ du -4- -— do = o . •

dx dy ' du dv

On peut d'ailleurs démontrer que ces équations, qui se présentent à nous comme exactes, aux infiniment petits du second ordre près, sont rigoureusement vraies. En effet, du et dv étant des différentielles, sont, par définition, l'un et l'autre de la forme M dx -4- N dy, et par suite les deux premiers membres des équations (4 ) sont de la forme

Vdx + Qdy,

P et Q étant des fonctions de x et de y; et comme dx et dy sont indépendants l'un de l'autre, une «pareille somme ne peut être infiniment petite d'un ordre supérieur au premier que si l'on a P = o, Q = o, et alors elle est rigoureusement nulle.

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X = il 4- 4', >* = M — i'.

les relations proposées entre r, y, u9 e; on en déduit

jr-t- v .r

et par conséquent on n'a donc pas

dx du __ i

du ' dx ~~ •> : "

«7i~Jdû\'

\dx)

67. Il existe cependant des relations simples qui, dans le cas des fonctions de

, .11 i- * i i- • » dx dx dy dy ,, . . . Hu dv

deux variables, lient les dérivées — î — > s-» -r» aux dérivées inverses -7- * -!-•

tfw r/t> du dv <fa- ils

du dv dï' Ty'

(les relations sont

dx du

"~ i/m dx

dv dx

dy du

dv

dv

"~ du dy

dx dv

dv

dy du

dy dv dv dx

Leur démonstration est extrêmement simple; si Ton suppose x et y exprimées eu fonctions de // et de t\ puis // et c remplacés, dans ces expressions, par leurs valeurs en fonctions de .r et de v, on aura deux identités équivalentes à x=.i\ v = v, et dont les seconds membres se présenteront sous forme de fonctions composées contenant // et c, qui elles-mêmes contiennent r et y. Or en prenant les dérivées de ces identités par rapport à .r, puis les dérivées par rapport à v, les premiers membres

donneront pour résultat y- = 1 , -^- = 1 , ^- = o, '-p = o, et les seconds membres.

par l'application de la règle des fonctions composées, donneront précisément les seconds membres des formules ; 1 j.

On formerait aisément des relations analogues pour un nombre quelconque de fonctions, dépendant d'un nombre égal de variables.