DÉTERMINANT D'UN SYSTÈME DE FONCTIONS

Définition des déterminants.

68. Lorsqu'on résout un système d'équations du premier degré en nombre égal à celui des inconnues, les formules qui expriment les diverses inconnues ont un dénominateur commun que l'on nomme le déterminant du système des coefficients. D'après cette définition, toutes les fois que le système de n2 quantités est disposé en groupes de n lignes contenant chacune n de ces quantités, il y a lieu de considérer le déterminant du système. On représente habituellement un déterminant en écrivant la lettre D à la gauche du carré où sont inscrits les coefficients qui servent à le former; on a, par exemple,

a, b I D \=ab' — ba\

a, b, c a', b', cf

z=ab' c" — ac'b" + b c' a" —ba! c" -h c a' b,f — r a" b'

La théorie des déterminants appartient à l'analyse algébrique. Nous nous bornerons k rappeler l'énoncé des théorèmes fondamentaux qui seront invoqués dans ce chapitre.

69 . Pour qu'un déterminant soit égal à zéro, il faut et il suffit qu'il existe une même relation linéaire entre tous les termes d'une même ligne, soit verticale, soit horizontale. Ainsi, par exemple, pour que l'on ait

am, b", c", d* a\ b\ c\ d" a'y 6', c\ d'

il faut et il suffit qu'il existe quatre facteurs, >,, ).af >8, >4t tels que l'on ait

>« c -+- >3 c' -+- \ c" -H l< cm = o, \ d H- >, d' -+- )., d" -+■ \ dm = o.

70. lji produit de deux déterminants formés par un même nombre de lettres peu

être mis sous forme de déterminant.

Si l'on considère les deux déterminants

«r, n)m a],..., al

leur produit est é#al au déterminant

C, . C,, .... Cj

dans lequel les éléments sont définis par l'équation

qui fait connaître l'un quelconque d'entre eux lorsque les nombres X- et i reçoivent successivement toutes les valeurs i, a, 3, . . . , /*.

Nous regarderons les deux théorèmes précédents comme bien connus, et nous ne nous arrêterons pas à les démontrer.

Définition du déterminant d'un système de fonctions. 71 . Si Ton considère n fonctions de n variables indépendantes

?■ (.r„ x,9 x,9. . ., .*•„), <fi(xl%x79 xu. . ., x»),. . ., y„ [xx, x2, jr:.,. . ., .r„),

les dérivées de ces fonctions, prises par rapport aux diverses variables, sont au nombre de /**, savoir

//cp, f/cp, (ly, (i yt

</.r, ttx , dxi dxn

dv-i d <f7 dy2

dxK dx2 (/.i;1

<ixn

d<?H djn <hn dx, dx, dxz

dxn