LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES
Le déterminant du système de ces n2 dérivées a été nommé par Jacobi le déterminant du système des fonctions, et, en adoptant la notation proposée par quelques géomètres, nous le représenterons par
n(?i» t»» ft» ■*■» ?*) ,
\j \X\, X%, X3, . .., XHJ
Si, par exemple, y{x,y) et à[x,y) sont deux fonctions des variables a et r. on aura d'après cette notation
D (y, ^) dyd$ dy dû D ( x, j) dx dy dy dx
72. Le déterminant d'un système de fonctions joue, dans l'étude simultanée de plusieurs fonctions contenant un nombre égal de variables, un rôle analogue à celui que joue la dérivée dans l'étude d'une fonction d'une seule variable. Le but de ce chapitre est d'indiquer cette analogie, qui se manifestera mieux encore par la suite.
La dérivée d'une fonction est la limite du rapport de l'accroissement infiniment petit de cette fonction à l'accroissement correspondant de la variable.
Le déterminant d'un système de fonctions peut recevoir une définition analogue qui résulte du théorème suivant :
Si Ion considère n fonctions* '9 , , ça, ç,,. . ., yn, contenant chacune n variables x< , rr2, jr3, . . . , xn, et que l'on attribue à chaque variable un accroissement infiniment petit, il en résultera, pour chaque fonction, un accroissement correspondant. Si Ion choisit arbitrairement n systèmes différents d'accroissements pour les variables, il en résultera pour les fonctions n systèmes d'accroissements correspondants. Le déterminant du système des fonctions est égal au rapport du déterminant du système d' accroism sements des fonctions au déterminant du système correspondant d'accroissements des variables.
Soient, en effet,
i/i «Ti, Wi Xi, •••)»! XM,
diXï9 d%xu . . ., dixm,
«« X\, ('n Xf* • • • , «n XH%
les n systèmes d'accroissements infiniment petits attribués successivement aux // variables, xi9x29 x%> . . ., x,t; l'accroissement d'une fonction ©, (#,, x2, . . . , x„) est (56) de la forme
,. d 9i j dy; . d 9i ,
?l lZ= 'ïïx kXx + dx + ' ' ' "^ dx Xm%
qui représente successivement tous les accroissements considérés, quand on y
6i PREMIERE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
attribue aux indices k et i toutes les valeurs entières depuis i jusqu'à n; maife d'après
cette expression de dk<fh on voit (70) que le déterminant du système
</• «,, d* ?3, . . . , rf'©,.
est le produit de deux aulres déterminants, savoir ceux des deux systèmes
r/x, rfr2 dxm
r/y, rf©a f/©?
( B ) dx{ dxi dxH
*/«„ dyH d **m
dxt f/j2 dxH
et
r/,a*lt rf.jr, , . . . . d,xH.
On en conclut que le déterminant du système B, c'est-à-dire le déterminant du système des fonctions proposées, est le rapport du déterminant du système (A) au déterminant du système (C), c' est-à-dire le rapport du déterminant du système d'accroissements infiniment petits des fonctions, au déterminant du système d'accroissement correspondant des variables. Le théorème est donc démontré.
Cas où le déterminant est nul.
73. Lorsqu'une fonction d'une variable est constante, sa dérivée est nulle. H existe pour un système de fonctions un théorème analogue.
lorsque plusieurs fonctions ne sont pas distinctes, c'est-à-dire lorsqu'il earisie entre elles une relation nécessaire, leur déterminant est égala zém.
Montrons d'abord l'analogie de ce théorème avec celui dont nous le rapprochon> et dont l'énoncé parait très-différent.
Lorsqu'une fonction ç (x) d'une seule variable n'est pas constante, à chaque valeur de h\ fonction correspond une valeur déterminée de la variable, et l'équation
