LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

peut être résolue par rapport à x. Si au contraire la fonction © est constante, en donnant sa valeur, on ne détermine pas x dont cette valeur est indépendante, et l'équation f i ) ne peut plus être résolue par rapport à x.

Si Ton considère maintenant deux fonctions <p, < r,, .r2), <p2 f.r,, ,r2) et que Ton

pose

ces deux équations peuvent être résolues par rapport à xK et k x2, pourvu que les fonctions 9, etç>2 soient distinctes et indépendantes; mais s'il existe entre elles um% relation nécessaire, Tune des équations devient une conséquence de l'autre, ou bien elles sont incompatibles, et dans l'un et l'autre cas il n'est pas possible de les résoudre par rapport à xK et à x2.

L'analogie que nous avons signalée consiste, on le voit, en ce que, dans les deux cas, les valeurs des fonctions étant supposées connues, ne déterminent pas les valeurs correspondantes des variables; il en est évidemment de même pour n fonctions, lorsqu'il existe entre ces fonctions une relation indépendante des valeurs assignées aux n variables dont elles dépendent.

Démontrons actuellement le théorème énoncé : lorsque plusieurs fonctions ne sont pas distinctes, le déterminant du système de ces fonctions est égal à zéro.

Soient çlf ç2, y3, . . . , <pn les fonctions considérées, et

une relation à laquelle elles satisfont identiquement, c'est-à-dire quelles que1 soiënl les valeurs attribuées aux variables xl9 x2, . . . , .r„ dont elles dépendent.

De l'équation (3) on déduit, pour un système d'accroissements infiniment petils quelconques de ç, , ç2, . . . , <pn,

-r— </?, -+- -y- cf ?, -h . . . ■+- -j— </?„ = o.

dyt df; don

en sorte que, si l'on considère n systèmes d'accroissements attribués aux fonctions ?o Ça» • • • » ?/m et qu'on les dispose sur n lignes horizontales, afin de former le numérateur de la fraction qui représente (71 ) le déterminant du système de fonctions, il existera une même relation linéaire entre les n termes de chaque ligne horizontale. On sait qu'un tel déterminant est nul, le déterminant du système de fonctions, dont il est le numérateur, est donc égal à zéro. C'est ce qu'il fallait démontrer.

74. Réciproquement, si le déterminant du sj^èine de n fonctions ç,, ç2, .. . . , ç„, est égal à zéro, il existe entre ces // fonctions une relation indépendante des valeurs attribuées aux variables.

M IHEMlfcRK l'ARTIE. GALU'L MFFËRGNTIEL.

Supposons, en effet, qu'une telle relation n'existe pas; on pourra alors attribuer à <Pi, <p,, . . . , ?„ îles valeurs arbitraires et indépendantes les unes des autres, et il en résultera pour .r,, x, r„ des valeurs correspondantes déterminées. Posons ilonr

vH = z»

Si nous attribuons à ces fonctions des accroissements infiniment petits. </?,. do.> , . . . , rfy/f, ,rlf ,r.Jf . . . , .r/4 prendront des valeurs nouvelles, cl recevront des accroissements déterminés <£rlf f/r3, . .. , d.r„ qui satisferont '56; aux relation*

T^ <Ar, -+- -.-!■ </.r: -h • . -h / //.r. = //*, , dx, dx2 »j\

do. dy* do.

y- dx, 4- -7-1- d,t -f- ... — -. //.*•„ = //*. . r/jr, dx, dxm

-Y- dx, -h -7— dx, -h . • • -+- -7— f/.r., = </ ?» dxx dx s i dx„

lesquelles sont par conséquent compatibles, quels que soient r/?,, </^a d^„.

Or cela ne peut être, puisque, par hypothèse, le déterminant du système des coefficients est égal à zéro; il y a donc contradiction à admettre que ç,, ça, ,5,

puissent recevoir des accroissements arbitraires, c'est-à-dire à regarder ces fonctions comme indépendantes.

Déterminant d'un système de fonctions de Jonctions.

75. La dérivée d'une fonction de fonction F u par rapport à une variable j dont u dépend, est le produit de la dérivée par rapport \\ //. ( . par la dérivée —

de u par rapport à r.

Ce théorème se généralise de la manière suivante :

etque //,, u2, ..., u„ soient elles-mêmes des fonctions de .r,, r2 rw; le déterminant

du système des fonctions f,, <p2, ..., <p„, par rapport aux rariables x<, *t*2, ...*jcm9 est le produit du déterminant de ce système de fonctions par rapport à //,,*/*. ...f um. parle

déterminant des fonctions m,, w2 //,„ par rapport à .r,, .r2 r„. U/i sorte que

Von a

D (.r,, .r.., . . . , jr„) l> //,, //■■, . . . , //„ D xi9 r , , .r„

Donnons en effet aux variables .r, , a-af . . . , .rw, // systèmes d'accroissements infini-