LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

ment petits

dt xt d{ x, ... d{ x„ , d-i x{ d7x2 . . . d, xM ,

(l„ X\ Um Xi . • . U„ Xm y i

il en résultera pour //,, */2 u„ des accroissements déterminés

dx ut dx u, . . . d, n„,

• di «, d-. u. . . . d> ti„,

dnux dHUx ■ . . dHuH, et pour s ,, î,, . . ., y„ les accroissements correspondants

rf, <p, dx f 3 ... </, <pN , </2 7, é/2 «p, ... d, «pw ,

Le déterminant de <plf f2, . . . , ?«♦ Par rapport à a-,, a2, . . . , a*,,, est égal au rapport du déterminant du système (C) à celifl du système (A).

Le déterminant de ç,, <p2, . . +><fn> par rapport à un u2 utt, est égal au

rapport du déterminant du système (C) k celui du système (B).

Le déterminant de ut , u2, . . . , un9 par rapport k xK , x29 . . . , xn9 est égal enfin au rapport du déterminant du système (B) à celui du système (A). Et il est évident, d'après cela, que le premier de ces trois déterminants est égal au produit des deux autres. Ce qui démontre la proposition énoncée.

Déterminant d'un système de fonctions inverses.

76. La dérivée par rapport k x d'une fonction <p (x) est l'inverse (32; de la dérivée de x par rapport k <p.

Ce théorème se généralise de la manière suivante :

Si Çi, ç2» •••>?/! sont fonctions de xi9x29 ...9x„9 réciproquement a,, a2, . ..,a-„

peuvent être considérés comme des fonctions de <p,, <p2, ..., cp„. Le déterminant des

fonctions yi9 <p2, . . . , ap,M par rapport à xt, x2, . . . , xn% est égala l unité divisée par

le déterminant des fonctions x{ , x29 . . . , xn9 par rapport aux variables ys , ç2, . . . , ç„.

Soient, en effet,

dx xx dx x: ... dx xH ,

diXx d:x: ... diXH1

# dHxx dmx2 . . dHxn,

d, ?, dx (fi ... dt y„ ,

di ?, d2yt . . . £/3 <p„ ,

'/-fi dmy> ... </„?„

/* systèmes d'accroissements des variables xi9xt9...9jrH9 et les accroissements correspondants de (p,, ya çp„. Le déterminant de ©,, y2, . . . , qp„, par rapport

aux variables xî9 x29 ...,#„, est (71) le rapport du déterminant du système (B) à celui du système (A); et le déterminant de x{9 x.i9 ..., x,l9 par rapport à y,, 92» •••»?// considérées comme variables, est le rapport du déterminant du système (A) à celui du système (B), ce qui rend la proposition évidente.

Exemple. — Si Ton a deux équations

et que Ton en déduise

on aura la relation

dy{ dffi dyt dy2 1

dx dy dy dx dx dy dx dy du dv dv du

On peut vérifier directement cette formule au moyen des règles données (64) pour la diflférentiation des fonctions implicites.

Pour calculer, en effet, -^? *-?-% ^> -^--> au moyen des équations (i), prenons successivement les dérivées de ces équations par rapport à u9 en traitante comme constant, puis par rapport àt% en traitant u comme constant. Nous aurons

dift dx dyx dy

dx du dy du

dtftdx dffidy

dx du dy du

dyt dx </<p, dy%

dx dv dy dv

dy7dx dy2dy

dx dv dy dv '