LIVRE PREMIER. - ÉTUDg DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES
on en déduit
dyx
dx dy
dx
du dyx rf?2 dyx dy* ' dx dy dy dx
dyx difi dffi dy7 dx dy dy dx
dy?
dyx
dy dx
dy dv
dx
du dyx dy7 dtfx dyi7 dx dy dy dx
dft d(f7 d(ft dy7' dx dy dy dx
et la substitution de ces valeurs dans -la formule (3) la rend identique. Réduction du déterminant à un monôme.
77. Le théorème au moyen duquel on a transformé (71) la définition du déterminant, laisse arbitraires les n systèmes d'accroissements infiniment petits attribués aux variables xt, x2, . . ., xn\ il permet, par conséquent, de donner au déterminant plusieurs formes distinctes : nous nous bornerons à indiquer la plus remarquable, qui le réduit a un seul terme.
Parmi les a/i quantités, xif x2f . • .,xnf /i,/2, ...,/», on peut en choisir n à volonté, les autres sont alors déterminées. Si donc on suppose que n — i d'entre elles restent invariables, toutes les autres devront changer à la fois et les rapports de leurs accroissements infiniment petits seront déterminés. Cela posé, nous supposerons que les n systèmes d'accroissements simultanés attribués aux variables soient compris dans le tableau suivant :
dy xx , dx Xt , . . . , . . . , dx xH , d,ft , o, o, . . . , o,
o, diXi ,...,..., d2xH y d«ft , difi , o, . . . , o,
(A) o, o, rf,jr,f ..., tfsjr«, </,/,, rf3/,, dif%, ..., o,
o , ' o , . . . , o , d„ xH , d„fx , d„f. , dnf3 , . . . , d„fH.
La première ligne de ce tableau indique que les premiers accroissements infiniment petits attribués à xif x2, ...,xn, sont tels, que/2,/,, ...,/, ne changent pas, ce qui, comme on l'a dit, détermine complètement leurs rapports. La seconde ligne* montre que les seconds accroissements adoptés, savoir d2xu d2x29 . . . , d2xnf sont tels, que/3f/4, ...,/„ ne changent pas, et l'on suppose, de plus, d2x{ --=o. Cela détermine encore les rapports de tous les accroissements, puisque, comme dans le cas précédent, n — i des quantités considérées sont supposées invariables. Enfin la dernière ligne montre que dans le riimf système d'accroissements, xi9 x2% . . . , xn x restent invariables.
Après avoir profité ainsi de la liberté laissée par l'énoncé dans le choix des accroissements simultanés, on aura (71) l'expression du déterminant du système,. en divisant le déterminant des quantités contenues dans le carré de droite par celui des quantités contenues dans le carré de gauche, mais, à cause des termes nuls, chacun de ces déterminants se réduit évidemment au produit des termes placés dans la diagonale, et leur rapport est
dj> d>f, <*,/, ... dHf„ = /dj\ \ /d£\ t ^ m /rf./.\ dxXy d2x, rf3.rs ... dmxm \d{xx) \d2x7) '" \d.xn)
/» **• ri ir ri <*» ai
Il est donc, comme nous l'avions annoncé, réduit à un seul terme. Pour comprendre la signification, des rapports (-7-^ h (t/^)' "•' (jT^' il faut se reporter au tableau (A).
On* voit par ce tableau que -r-^ est le rapport de l'accroissement de/, k celui
de «r,, lorsque /a,/», ...,/„ sont supposés invariables; il fautdonc, pour le calculer, exprimer/, en fonction des variables a?,,/,/. ...,/,, et prendre la dérivée du
résultat par rapport a x{ : de même ^— est le rapport de l'accroissement de/2 11
celui de r2, quand ^,,/3,/4, ...,/„ sont invariables; il faut donc, pour le calculer, exprimer /2 en fonction des variables #,, x2, /»,... ,/,, et prendre la dérivée du résultat par rapport à. r2. En continuant ainsi, on verra que pour calculer les facteurs du produit (1), il faut mettre les équations qui lient les an variables jl , , .t 2, . . . , ,r„, /, , /2 ftn sous la forme suivante :
y, = r 1 ( Xi , j 2 , j j , . . . , ■••,/«),
Ji == * a ( x\ > x* » Ji t ♦ fn } 9
^/n r„ [JT| » «2'j , . . . XH) »
et le produit des dérivées -r-^* -7-^ •••> -£-, est alors le déterminant cherché. Comme application, cherchons le déterminant du système suivant :
X = p cos 0, r = psin0sin4i, « = 0 sinGcos ù9
p, Q et <b étant les variables indépendantes.
LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. On déduit de ces équations,
z =}Jf — .r1 — y2,
